Boa noite: 1) Comentando a resposta do Ralph: Tal fato se trata basicamente do teorema de Wilson que fala que: n divide (n-1)! se n for um número composto. Se n for um primo temos que n deixará resto n-1 na divisão de (n-1)!.
O problema é basicamente o teorema, só que multiplicado por n. 2)Uma saída é pensar de maneira trigonomérica: sendo y_i = tg(x_i) temos que: 0<= (y_i - y_j)/(1+(y_i)(y_j)) <=1 é equivalente a dizer 0<=[tg(x_i)-tg(x_j)/[1+tg(x_i)tg(x_j)]<=1 que é o mesmo que: 0<= Tg(x_i - x_j) <= 1 O resultado dessa equação é: x_i - x_j = [k*pi ; pi/4 + k*pi] tal que k é um número inteiro. Vamos provar que podemos reduzir esse problema ao 1º e ao 2º quadrante. x_i = (k')*pi + r x_j = (k'')*pi + s Sendo r e s números reais entre 0 e pi. x_i - x_j = (k' - k'')pi + (r-s) O que caracteriza um arco reduzível ao primeiro quadrante. Dividindo o primiero e o segundo quadrante em 4 intervalos [0,45º); (45º;90º] ; (90º;135º] ; (135º;180º] Colocamos um dos 4 primeiros y's em cada intervalo. Pelo princípio dos pombos o 5º tem que entrar em um intervalo já ocupado, o que prova a existencia de dois reais que satisfazem a equação. OBS: por causa do <= nas equações do problema eu acho que a cada 4 reais quaisquer você acha 2 que satisfazem a equação, sendo necessários 5 reais caso haja só a desigualdade, mas não tenho certeza disso. Espero que tenha ajudado. Abraço, Athos. Date: Thu, 9 Aug 2012 14:53:40 -0400 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Não consigo resolver From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 1. Bom, a chave eh olhar para os divisores de n. Se n tiver pelo menos 4 divisores positivos (distintos), digamos, 1, p, q=n/p e n, entao n^2 divide n!. Por que? Oras, n!=1.2.3...n. Nesse produto teriamos os numeros p, q e n, e este produto jah tem pqn=n^2. Em suma, para que n! NAO seja divisivel por n^2, n tem que ter no maximo 3 divisores positivos distintos. a) UM DIVISOR. Seria n=1... mas nao serve, pois 1^2=1 divide 1!=1. b) DOIS DIVISORES. Entao n seria um numero primo, digamos, n=p primo. Entao o fator p nao aparece em nenhum dos numeros 1,2, ..., (p-1), e portanto soh aparece uma vez em p!. Entao p^2 nao divide p!.c) TRES DIVISORES. Entao n seria o quadrado de um primo, digamos, n=p^2. Mas, se p>2, teriamos os fatores 1,p,2p,p^2 em n! (pois 1<p<2p<p^2), e entao seu produto 2p^4=2n^2 dividiria n!. Entao o unico caso que sobra eh p=2, que SERVE, pois 4^2=16 nao divide 4!=24. RESPOSTA: n=p onde p eh primo, ou n=4. 2. Estou sem tempo para fazer o segundo... Mas notei que (x-y)/(1+xy)=1 eh equivalente a y=f(x)=(x+1)/(1-x)=-1+2/(1-x). Agora, esta funcao f(x) tem periodo 4, isto eh, f(f(f(f(x))))=x... Em outras palavras, f leva (0,1) em (1,+Inf), leva (1,+Inf) em (-Inf,-1), isto em (-1,0) e isto de volta em (0,1). Pelo principio da casa dos pombos, dados 5 numeros tem de haver 2 deles em um desses 4 intervalos.... De algum jeito isto vai provar o problema -- mas nao sei se os numeros que a gente quer ver sao os y_i, os f(y_i) ou os f^(-1)(y_i).... Bom, serah que alguem consegue completar minha ideia capenga? Abraco, Ralph 2012/8/9 Heitor Bueno Ponchio Xavier <heitor.iyp...@gmail.com> Estou com alguns problemas aqui que não estão saindo e agradeceria bastante ajuda. 01. Encontre todos os números ''n'' naturais tais que n² não seja divisor de n! 02.Prove que dentre quaisquer cinco reais y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, existem dois que satisfazem: 0<= (y_i - y_j)/(1+(y_i)(y_j)) <=1.