2012/10/17 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>: > Seja um triangulo ABC, a,b,c as medidas do lados BC,AC e AB,respectivamente > e ha, hb e hc as alturas do triangulo. > Se a + ha = b + hb = c + hc,prove que ABC é equilatero. >
Temos S=aha/2, logo podemos escrever a+2S/a=b+2S/b=c+2S/c Usando abc=4SR: a+bc/2R=b+ac/2R=c+ab/2R. Para facilitar, coloque 2R=1 como diâmetro do círculo. Teremos então a+bc=b+ac=c+ab a-ac=b-bc a(1-c)=b(1-c) (a-b)(1-c)=0 Analogamente, (a-c)(1-b)=0 (c-b)(1-a)=0 Suponha a!=b. Teremos c=1. Assim (a-1)(1-b)=0. Suponha b=1. Mas o diâmetro do círculo é 1, e é impossível que dois dos lados do triângulo meçam mais que a maior distância entre dois pontos do círculo. Assim, a suposição a!=b está errada. Logo a=b. Analogamente b=c e fim! -- /**************************************/ 神が祝福 Torres ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
