2012/12/15 Lucas Prado Melo <luca...@dcc.ufba.br> > 2012/12/15 Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com> > >> Oi! >> >> Soa fácil, mas procurei na internet, tentei fazer, e não consegui de >> jeito nenhum. Alguém sabe demonstrar que a sequência de Thue-Morse não >> possui progressões aritméticas de comprimento infinito? >> >> Funciona assim: a sequência é gerada a partir do número 0, e aí >> fazemos negação binária (para obter 1) e concatenamos com a sequência >> acumulada (para obter 0 1). Então fazemos tudo de novo: negação (10) e >> concatena (01 10). Negação da acumulada (1001) e concatenação (0110 >> 1001). Negação da acumulada (10010110) e concatenação (01101001 >> 10010110), etc. A figurinha da wikipedia mostra direitinho como que >> faz https://en.wikipedia.org/wiki/File:Morse-Thue_sequence.gif >> >> Aí a gente pega a sequência: >> >> 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 >> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (espero que fique alinhado) >> >> E pega a sequência dos números com 1 em cima: [1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, >> 14, ...]. Tem que provar que essa sequência não tem nenhuma progressão >> aritmética de comprimento infinito, isto é, nenhuma subsequência >> infinita da forma [a, a+n, a+2n, ...] >> >> alguma idéia? : ) >> > > O que se pode perceber dessa sequência é que a quantidade dos bits 1 da > representação binária dos números é sempre ímpar. > > Assim se tivermos uma PA infinita, {a+ir} contida na sequência, essa > invariante se mantem. E aí está o problema! > > Seja 2^m > a, e 2^m > r. > > Temos que a+2^m r, pertence à sequência. Como 'a' pertence à sequência > também, o número de bits 1 de 'a' é ímpar e de 'r' é par para que a+2^m r > tenha uma quantidade ímpar de 1s. Mas aí a+2^m r + 2^(2m) r (também da > sequência) teria uma quantidade par de 1s, uma contradição. > > Pronto!
Ou 2^(2m) r - 2^m r tem quantidade ímpar de 1s, ou 2^(2m+1) r - 2^m r tem quantidade ímpar (este último número teria 1 bit 1 a mais). Veja: r = 101 1010000 - 101 ------------ 1001011 e 10100000 - 101 -------------- 10011011 -- []'s Lucas
