Demorou uma página inteira de rabiscos aqui pra eu entender, mas foi, hehehe
valeu! 2012/12/15 Lucas Prado Melo <luca...@dcc.ufba.br>: > 2012/12/15 Lucas Prado Melo <luca...@dcc.ufba.br> >> >> 2012/12/15 Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com> >>> >>> Oi! >>> >>> Soa fácil, mas procurei na internet, tentei fazer, e não consegui de >>> jeito nenhum. Alguém sabe demonstrar que a sequência de Thue-Morse não >>> possui progressões aritméticas de comprimento infinito? >>> >>> Funciona assim: a sequência é gerada a partir do número 0, e aí >>> fazemos negação binária (para obter 1) e concatenamos com a sequência >>> acumulada (para obter 0 1). Então fazemos tudo de novo: negação (10) e >>> concatena (01 10). Negação da acumulada (1001) e concatenação (0110 >>> 1001). Negação da acumulada (10010110) e concatenação (01101001 >>> 10010110), etc. A figurinha da wikipedia mostra direitinho como que >>> faz https://en.wikipedia.org/wiki/File:Morse-Thue_sequence.gif >>> >>> Aí a gente pega a sequência: >>> >>> 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 >>> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (espero que fique alinhado) >>> >>> E pega a sequência dos números com 1 em cima: [1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, >>> 14, ...]. Tem que provar que essa sequência não tem nenhuma progressão >>> aritmética de comprimento infinito, isto é, nenhuma subsequência >>> infinita da forma [a, a+n, a+2n, ...] >>> >>> alguma idéia? : ) >> >> >> O que se pode perceber dessa sequência é que a quantidade dos bits 1 da >> representação binária dos números é sempre ímpar. >> >> Assim se tivermos uma PA infinita, {a+ir} contida na sequência, essa >> invariante se mantem. E aí está o problema! >> >> Seja 2^m > a, e 2^m > r. >> >> Temos que a+2^m r, pertence à sequência. Como 'a' pertence à sequência >> também, o número de bits 1 de 'a' é ímpar e de 'r' é par para que a+2^m r >> tenha uma quantidade ímpar de 1s. Mas aí a+2^m r + 2^(2m) r (também da >> sequência) teria uma quantidade par de 1s, uma contradição. >> > > Pronto! > > Ou 2^(2m) r - 2^m r tem quantidade ímpar de 1s, ou 2^(2m+1) r - 2^m r tem > quantidade ímpar (este último número teria 1 bit 1 a mais). > Veja: > r = 101 > > 1010000 > - 101 > ------------ > 1001011 > > e > 10100000 > - 101 > -------------- > 10011011 > > > -- > []'s > Lucas ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
