Estou sem tempo agora, mas acho que jah mostramos que nao ha solucoes positivas.
Afinal, se houvesse, seria 0<=S<=1/3. Mas S=x+y=(a+b)/c, entao
teriamos c/(a+b)>=3.
Como isso tambem valeria para a/(b+c) e b/(a+c), acho que teriamos um absurdo.
(Deve ter algum jeito MUUUITO mais rapido de ver isso -- ou entao eu errei algo)
Abraco,
Ralph
2013/1/12 Rhilbert Rivera <rhilbert1...@hotmail.com>:
> Muito obrigado pelas informações Ralph, vou verificar com cuidado. Mas, era
> como você desconfiou, eu queria os valores INTEIROS, rsrsrs... vamos
> aguardar.
>
> Abraços
>
>> Date: Thu, 10 Jan 2013 13:02:01 -0200
>> Subject: Re: [obm-l] Valores de a, b e c
>> From: ralp...@gmail.com
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>
>> CASO 1: c=0.
>> Neste caso, temos a/b+b/a=1. Entao x=a/b teria que ser positivo....
>> Mas x+1/x>=2 para todo x real positivo, entao nao ha solucoes no caso
>> 1.
>>
>> CASO 2: c<>0
>> A ideia eh notar que a equacao eh homogenea: se (a,b,c) eh solucao,
>> entao (Ka, Kb, Kc) tambem eh (para K<>0).... Entao tomando K=1/c, a
>> gente ve que (x,y,1) tem que ser solucao (onde x=a/c e y=b/c). Melhor
>> ainda, botando tudo em funcao de x e S=x+y, vem:
>>
>> x/(S-x+1) + (S-x)/(x+1) + 1/S = 1
>>
>> Abrindo tudo, organizando como uma quadratica em x, se eu nao errei
>> contas, fica (3S-1)x^2-(3S^2-S)x+(S^3+1)=0.
>>
>> Mais contas, achei o discriminante como D=-(3S-1)(S+2)(S^2-S+2). Para
>> isto ser positivo, devemos ter (3S-1)(S+2)<0, isto eh, -2<=S<=1/3. Por
>> outro lado, dado S ai, certamente temos solucao:
>>
>> x=((3S^2-S)+-raiz(D))/2(3S-1)
>>
>> Entao voces tem infinitas solucoes da forma
>> a=c[((3S^2-S)+-raiz(D))/2(3S-1)]
>> b=c(S-x)
>> c=c
>> onde S eh um real arbitrario em [-2,1/3] e c eh outro real arbitrario.
>>
>> Abraco,
>> Ralph
>>
>> P.S.: Ou voce queria apenas valores INTEIROS de a, b e c? Ai eh OUTRO
>> problema....
>>
>> 2013/1/9 Rhilbert Rivera <rhilbert1...@hotmail.com>:
>> > Buscando uma ajuda no problema a seguir.
>> >
>> > Se a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) =1, quais os possíveis valores de a, b e
>> > c?
>> >
>> > Obrigado
>>
>> =========================================================================
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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