Olá!
Este é um problema da Teoria dos Números bastante conhecido. Acredito (a confirmar!) que não exista uma solução analítica – o jeito é fazer “no braço” (“brute force”). Bem, na Internet, encontrei a solução abaixo (bastante “arrumadinha”): – http://www.prise2tete.fr/forum/viewtopic.php?id=6370 Bonjour, Je n'ai trouvé qu'une méthode empirique et dichotomique aboutissant à 14 solutions. Supposons 1 < a ≤ b ≤ c ≤ d. Alors 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ≤ 4/a donc 1 ≤ 4/a donc a ≤ 4 (et a > 1). D'où 3 cas à analyser : a=4, a=3 et a=2. 1) a = 4 Alors 1/4 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/4 + 3/b donc 3/4 ≤ 3/b donc b ≤ 4. Et comme b ≥ a, on voit que b=4. De la même façon c=4 et d=4. Solution1 : 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = 1 2) a = 3 Alors 1/3 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/3 + 3/b donc 2/3 ≤ 3/b donc b ≤ 9/2. Et comme b ≥ a, on voit que b=4 ou b=3. 2a) b = 4 Alors 1/3 + 1/4 + 1/c + 1/d = 7/12 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/12 + 2/c donc 5/12 ≤ 2/c donc c ≤ 24/5. Et comme c ≥ b, on voit que c=4 Solution2 : 1/3 + 1/4 + 1/4 + 1/6 = 1 2b) b = 3 Alors 1/3 + 1/3 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6. Et comme c ≥ b, on voit que c=3, c=4, c=5 ou c=6. Solution3 : 1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/12 = 1 Solution4 : 1/3 + 1/3 + 1/6 + 1/6 = 1 3) a = 2 Alors 1/2 + 1/b + 1/c + 1/d = 1 ≤ 1/2 + 3/b donc 1/2 ≤ 3/b donc b ≤ 6. Et comme b ≥ a, on voit que b=6, b=5, b=4 ou b=3 (b=2 ne marche pas). 3a) b = 6 Alors 1/2 + 1/6 + 1/c + 1/d = 2/3 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 2/3 + 2/c donc 1/3 ≤ 2/c donc c ≤ 6. Et comme c ≥ b, on voit que c=6 et par suite que d=6. Solution5 : 1/2 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 3b) b = 5 Alors 1/2 + 1/5 + 1/c + 1/d = 7/10 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 7/10 + 2/c donc 3/10 ≤ 2/c donc c ≤ 20/3. Et comme c ≥ b, on voit que c=5 ou c=6. Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/5 = 1/10 Solution6 : 1/2 + 1/5 + 1/5 + 1/10 = 1 Si c= 6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/5 - 1/6 = 4/30 = 2/15 non réductible 3c) b = 4 Alors 1/2 + 1/4 + 1/c + 1/d = 3/4 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 3/4 + 2/c donc 1/4 ≤ 2/c donc c ≤ 8. Et comme c ≥ b, on voit que c=8, c=7, c=6 ou c=5 (c=4 ne marche pas). Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/8 = 1/8 Solution7 : 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1 Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/7 = 3/28 non réductible Si c=6, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/6 = 1/12 Solution8 : 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12 = 1 Si c=5, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/4 - 1/5 = 1/20 Solution9 : 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/20 = 1 3d) b = 3 Alors 1/2 + 1/3 + 1/c + 1/d = 5/6 + 1/c + 1/d = 1 ≤ 5/6 + 2/c donc 1/6 ≤ 2/c donc c ≤ 12. Et comme 1/2 + 1/3 + 1/c < 1 donc 1/c < 1/6 donc c > 6, on voit que c=12, c= 11, c=10, c= 9, c=8 ou c=7. Si c=12, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/12 = 1/12 Solution10 : 1/2 + 1/3 + 1/12 + 1/12 = 1 Si c=11, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/11 = 5/66 non réductible Si c=10, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/10 = 2/30 = 1/15 Solution11 : 1/2 + 1/3 + 1/10 + 1/15 = 1 Si c=9, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/9 = 1/18 Solution12 : 1/2 + 1/3 + 1/9 + 1/18 = 1 Si c=8, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/8 = 1/24 Solution13 : 1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/24 = 1 Si c=7, alors 1/d = 1 - 1/2 - 1/3 - 1/7 = 1/42 Solution14 : 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/42 = 1 FIN de la démonstration *** ouf... *** _____ J'ai tellement besoin de temps pour ne rien faire, qu'il ne m'en reste plus assez pour travailler. _____ Albert Bouskela <mailto:bousk...@msn.com> bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de grego Enviada em: sexta-feira, 15 de fevereiro de 2013 22:31 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] problema Olá, companheiros! Um aluno me perguntou o seguinte: a <=b<=c<=d 1/a+1/b+1/c+1/d=1 Quantas quádruplas ordenadas (a, b, c, d) de naturais satisfazem a igualdade? Um abraço! Grego
