2013/3/1 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>: > 1) suponhamos que exista uma função f tal que, para todo real x, tenhamos > f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b +1)(b - 3) <= > 4ac. Esse eu ainda tenho que pensar com cuidado. A primeira coisa é reduzir a g(g(x)) = x^2 + c, mas eu ainda não sei fazer o caso c < 0.
> 2) seja (a_n) uma sequência de reais e (p_n) uma sequência de pesos > positivos. Seja (s_n) a sequência das médias ponderadas de (a_n) com relação > os pesos p_n. Mostre que, se Soma p_n divergir, então > > liminf s_n <= liminf a_n <= limsup a_n <= limsup s_n > > É bem fácil mostrar que, se Soma p_n convergir, as desigualadas da direita e > da esquerda não têm que valer. Curioso... Eu diria que s_n é uma combinação convexa dos a_n, logo s_N >= min(a_n, n=1..N) e portanto min(s_N, N=1..k) >= min(min(a_n, n=1..N), N=1..k) = min(a_n, n=1..k). Claro que tem que fazer "do outro lado" (no infinito, não no 1) mas eu diria que liminf a_n <= liminf s_n. Mais tarde tento enviar uma prova dessa soma de "Césaro". > 3) Seja f uma função definida em um intervalo I de R (suponhamos aberto, para > facilitar) e com valores em R. Suponhamos que, em cada ponto de I, as 4 > derivadas de Dini de f existam e sejam finitas. Mostre que existe um > subintervalo de I no qual f é Lipschitz. > Isto é mais fácil de mostrar se supusermos diferenciabilidade cheia em todo o > I. Mas, de fato, basta a existência das 4 derivadas de Dini. Diferenciabilidade cheia = full differentiability = diferenciável no sentido usual ? (Nunca fiz nada com derivadas de Dini) -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
