Eu acho estes dois aqui interessantes. O primeiro acho que já enviei para a lista, ma não houve comentários. Tive muita dificuldade. O segundo também acho interessante.
1) suponhamos que exista uma função f tal que, para todo real x, tenhamos f(f(x)) = ax^2 + bx + c, a não nulo, b e c reais. Mostre que (b +1)(b - 3) <= 4ac. 2) seja (a_n) uma sequência de reais e (p_n) uma sequência de pesos positivos. Seja (s_n) a sequência das médias ponderadas de (a_n) com relação os pesos p_n. Mostre que, se Soma p_n divergir, então liminf s_n <= liminf a_n <= limsup a_n <= limsup s_n É bem fácil mostrar que, se Soma p_n convergir, as desigualadas da direita e da esquerda não têm que valer. A desigualdade do meio vale, é claro, para qualquer sequência de reais. E eu também acho este interessante e pouco conhecido. Tive uma boa dificuldade. 3) Seja f uma função definida em um intervalo I de R (suponhamos aberto, para facilitar) e com valores em R. Suponhamos que, em cada ponto de I, as 4 derivadas de Dini de f existam e sejam finitas. Mostre que existe um subintervalo de I no qual f é Lipschitz. Isto é mais fácil de mostrar se supusermos diferenciabilidade cheia em todo o I. Mas, de fato, basta a existência das 4 derivadas de Dini. Abraco a todos Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
