Obrigado Artur e Claudio,ajudaram muito.
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From: claudiog...@yahoo.com.br
Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] Função trigonométrica sem período
Date: Sat, 9 Mar 2013 01:55:27 -0300
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Boa noite.Seja por absurdo o periodo T da funcao f(x)=cos(x^1/2). Dessa forma,
para todo x nao negativo, tem-se f(x)=f(x+T). Como vale para todo x nas
condicoes acima, escolhemos x=0: f(0)=cos0=1. Logo f(0)=f(0+T), o que dah:
cos(T^1/2)=1, T^1/2=2Qpi sendo Q inteiro. Por outro lado, f(0)=f(0+T)=f(0+2T),
logo cos((2T)^1/2)=1 e (2T)^1/2=2Hpi, sendo H um inteiro qualquer.Dividindo os
resultados (2T)^1/2 = 2Hpi por T^1/2 = 2Qpi tem-se 2^1/2 = K, sendo K um
numero racional qualquer. Dai encontra-se o absurdo logo a funcao f(x) dada nao
eh periodica.
Espero ter ajudado.Claudio Gustavo.
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Em 09/03/2013, às 01:15, Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com> escreveu:
Eu vou usar um outro argumento, de caráter geral. Antes, vejamos o seguinte
lema:
Seja f de R em R, ou de [0, oo) em R, uma função periódica e não constante.
Para todo a > 0, a <> 1,a função g(x) = f(x^a) não é uniformemente contínua.
Prova:
Sabemos que uma função g é uniformemente contínua em seu domínio se, e somente
se, para todas sequências (u_n) e (v_n) no domínio de g tais que u_n - v_n -->
0, tivermos que g(u_n) - g(v_n) --> 0.
Consideremos inicialmente o caso a > 1. Sendo p > 0 um período qualquer de f,
definamos (u_n) e (v_n) por u_n = (np + u)^(1/a) e v_n = (np + v)^(1/a), onde
u e v são reais tais que f(u) <> f(v) (como f não é constante, este números
existem). Como a > 1, 0 < 1/a < 1, o que implica que u_n - v_n --> 0 (isto
pode ser deduzido da definição da função potência). Entretanto, para todo n,
g(u_n) - g(v_n) = f((u_n)^a) - f((v_n)^a) = f(np + u) - f(np + v) = f(u) -
f(v), pois p é período de f. Logo, g(u_n) - g(v_n) converge trivialmente para
f(u) - f(v) <> 0. Isto nos mostra que g não é uniformemente contínua em R.
Na abordagem a seguir, consideramos o fato de que funções contínuas e
periódicas são uniformemente contínuas.
Suponhamos agora que, além de periódica e não constante, f seja contínua.
Então, f é uniformemente contínua e g é contínua (composição das funções
contínuas f e x--> x^a). Se g for periódica, então g, contrariamente ao lema
que demonstramos, é uniformemente contínua. Desta contradição, deduzimos que g
não é periódica.
Supondo novamente f contínua, periódica e não constante, consideremos agora o
caso a em (0, 1). Então, g não pode ser constante, pois a função não negativa x
--> x^a é uma bijeção. Admitamos que g seja periódica. Como 1/a > 1, temos do
caso anterior que f, dada por f(x) = g(x^(1/a)), não é uniformemente contínua.,
Uma contradição. Logo, g não é periódica.
Verificamos assim, que, se f for contínua, periódica e não constante, então
pata todo a > 0, a <> 1, g não é periódica. Na sua questão, temos o caso
particular para f(x) = cos(x) e a = 1/2.
Abraços
Artur Costa Steiner
Em 08/03/2013, às 22:58, Márcio Pinheiro <profmar...@hotmail.com> escreveu:
Basta resolver a equação cos ((x + t)^1/2) = cos (x^1/2), supondo,
inicialmente, que f é periódica, para concluir que, em qualquer solução, t
depende de x. Logo, f não pode ser periódica, pois, se fosse, deveria haver t >
0, independente de x (ponto de partida), tal que f (x + t) = f (x), para todo
x, isto é, não importa qual seja x.
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Função trigonométrica sem período
Date: Fri, 8 Mar 2013 18:52:48 +0000
O objetivo dessa questao é demonstrar que f(x) = cos(x^1/2),x > = 0,não é
periódica,ou seja,não existe nenhum numero
real positivo T tal que cos[(x+T)]^1/2 = cos(x^1/2) para todo x > = 0.
a) Encontre todos os valores de T > = 0 para os quais f(T) = f(0) e,a seguir
encontre todos os valores de T > = 0 para os quais
f(T) = f(2T)
b) use o ítem a para mostrar que f(x) não é periodica
