Artur Costa Steiner
Em 01/04/2013, às 23:32, Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> escreveu: > 2013/4/1 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>: >> Suponhamos que f :R --> R seja diferenciável e seja g = f o f. Mostre que, >> se g for decrescente, então temos g'(x) = 0 para pelo menos 2 valores >> distintos de x. >> >> Abraços. > Muito bom! > > Se g' != 0, f' também, monótona, fim. > > Se fosse um ponto só, f' tem sinal contrário em cada um dos intervalos > (-inf, x0), (x0, inf). (senão seria impossível fazer f'(f(x)) f'(x) < > 0 !) > Mas então f(x) está "do outro lado de x" com relação a x0: f(x+) < x0, > f(x-) > x0. > Como f é contínua, f(x0) = x0. > Mas essas desigualdades e f(x0) = x0 dizem que f'(xi+) tem sinal > negativo para o xi dado pelo Teorema do Valor Médio para (x0, x+). A > mesma coisa vale para f'(xi-), que também seria negativo. Absurdo. > > Você tem um exemplo com g'(x) = 0 apenas para dois valores de x? Na realidade, concluí depois que isto é impossível. Se uma função decrescente g for dada pela composição de uma função derivável com ela própria, então g' tem que se anular em todo intervalo de R, o que implica que se anula infinitas vezes. Se g não for constante, g' tem que ser uma função bem maluquinha. Artur > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
