Não, para que uma prova seja matematicamente válida não podemos apelar para a geometria. A prova da desigualdade de Jensen baseia-se na definição de função convexa. Uma função com valores em R é convexa se, para todos x1 e x2 de seu domínio tivermos f(Lx1 + (1 - L)x2) < = L f(x1) + (1 - L) f)x2) para todo L em [0, 1].. Se sempre tivermos desigualdade estrita a função é dita estritamente convexa. E neste caso, na desigualdade de Jensen a desigualdade também é estrita.
Se for uma função de R em R, isto significa que, geometricamente, o segmento do gráfico que une 2 pontos da função está abaixo ou coincidindo com o segmento de reta que une os dois pontos. Mas a definição de função convexa não é geométrica. No caso da função quadrática, nem precisaríamos da desigualdade de Jensen. Como a derivada segunda é positiva em R, a função é estritamente convexa (porque a 1a derivada é estritamente crescente). Basta então aplicar a definição de convexidade estrita com L = 1/2. Artur Costa Steiner Em 07/04/2013, às 21:47, Pedro Júnior <pedromatematic...@gmail.com> escreveu: > Já vi que usando o teorema fica simples... mas fiquei curioso com uma coisa: > dos arquivos que baixei sobre a desiguldade de Jansen, nenhum deles mostra > como foi intuida tal desigualdade. Usam indução numa desigualdade que surgiu > de onde? Será que te uma prova direta... ou só o fato geométrico é suficiente > para intuir tal desigualdade? > > > 2013/4/7 Hyon Ferreira Cordeiro <h-y-o...@hotmail.com> >> Temos que f''(x)= 2a >0 para todo x. >> Segue de Jensen que f(x+y/2) < (f(x)+f(y))/2 >> >> Date: Sun, 7 Apr 2013 13:43:42 -0300 >> Subject: [obm-l] Função Quadrática e Desigualdade >> From: pedromatematic...@gmail.com >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> Seja f(x) = ax² + bx + c com a > 0. Mostre que f((x+y)/2) < [f(x) +f(y)]/2. >> >> -- >> Pedro Jerônimo S. de O. Júnior >> Professor de Matemática >> Geo João Pessoa – PB >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Pedro Jerônimo S. de O. Júnior > > Professor de Matemática > > Geo João Pessoa – PB > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
