2013/9/2 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com>:
> 2013/9/2 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
>> Olá amigos,
> Oi Artur,
>
>> Se f for uma função meromorfa, periódica e não constante, então f tem algo
>> análogo a um período fundamental, isto é, existe um período p cujo valor
>> absoluto é positivo e mínimo. Não sei se este p é único. Todos os múltiplos
>> inteiros de p são períodos e estão na reta definida pelo argumento de p. No
>> caso, por exemplo, de f(z) = exp(z), p = 2 pi i.
>
> Não, este p não é único. Existem funções meromorfas cujos períodos são
> 1 e i, que são portanto mínimos e diferentes. Mas, fora este fenômeno
> meio "especial", o que você falou está perfeitamente certo. Para ser
> formal: como f não é constante, existe um ponto z tal que f'(z) é
> diferente de zero, e portanto uma vizinhança onde f(z) != f(w) para
> todo w na vizinhança. Assim, o conjunto dos períodos {p complexo /
> f(w+p) = f(w) para todo w} é um subgrupo aditivo de C, onde zero é
> isolado. Assim (mesma demonstração que em R) existe um valor r = min =
> inf { |p| / p período, p != 0 }.
Ah, sim, faltou o exemplo:
considere a função
f(z) = sum_{m,n inteiros} 1/(z - m - n*i)^3
que é (por definição!) periódica de períodos 1 e i. É um pouco mais
chatinho ver que ela é meromorfa, porque daí você tem que provar que
ela é
- uma série convergente para z fora do reticulado {1,i} (use que 1/z^3
é integrável em R^2)
- que a derivada desta série convergente é também uma série
convergente, uniformemente sobre os compactos que não intersectam o
reticulado
porque daí ela será uma função com derivada contínua e z-linear,
portanto holomorfa em todos o C menos nos pólos do reticulado.
Para ver que ela é meromorfa nos pontos do reticulado, isole o termo
1/z^3 numa vizinhança de zero, repita os argumentos de cv uniforme e
veja que a derivada "existe".
Como f é periódica, acabou.
Outra demonstração: tome |z| < 1/3, expanda todos os termos exceto
1/z^3 em potências de z, usando 1/(z - a) = soma da série geométrica,
depois derivando a série 2 vezes, troque a ordem das somas (atenção
para aplicar Fubini direitinho) e veja que a série assim obtida é um
desenvolvimento de Laurent.
Essa é uma das funções de Weierstrass. Existe uma outra, mais
importante, que é a primitiva desta, mas é mais difícil mostrar que a
primitiva é periódica ;-) (e também é mais difícil mostrar que a
primitiva é uma função meromorfa bonitinha).
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
--
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