2014/1/21 Luís <qed_te...@hotmail.com>:
> Sauda,c~oes,
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> Como mostrar que
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> x^(2n) - 1 = (x^2-1)(x^(2n)+x^(2n-1)+....+1)=(x^2-1) X
> \prod_{k=1}^{n-1} (x^2 - 2x cos(k\pi/n) + 1)
>
> e
>
> x^(2n+1) = (x+1)(x^(2n)-x^(2n-1)+....+1)=(x+1) X
> \prod_{k=1}^{n} (x^2 - 2x cos((2k-1)/(2n+1)) + 1)Olhe para as raízes complexas desses polinômios, e faça pares de raízes "conjugadas". Vou fazer o primeiro: x^(2n) - 1 = 0 <=> x = exp(2 pi i * k /2n), para k = 0, 1, 2, … (2n - 1). Separe k = 0 e k = n, que dão as raízes x = 1 e x = -1, sobram as raízes exp( +- 2 pi i * k / 2n) para k = 1, 2, … n-1 (usando que tudo é periódico módulo 2n !!). Seja w = exp(2 pi i / 2n), agrupando os fatores (x - w^k) e (x - w^(-k)) temos (x^2 - (w^k + w^(-k))x + 1) = (x^2 - 2 cos(k * 2 pi/2n) x + 1). Obs: a fatoração intermediária está errada, deveria começar em x^(2n - 2), para dar o grau certo. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
