Eu tinha umas relações da forma (ab+ac+bc)/abc com alturas e senos, mas não sei onde guardei. Sobre as ternas:
Sabe-se que (m²-n²)² + (2mn)² = (m²+n²)² Seja a=(m²-n²), b=2mn e c = (m²+n²) Divisibilidade por 4: Para m par e n par é automático 4|abc Para m ímpar e n par, 4|2mn, então 4|abc Para m ímpar e n ímpar, é garantido que m² e n² são divisíveis por 2 (melhor, por 4 ja que ambos são da forma 4k+1 m² é côngruo a n² módulo 4), como b é divisível por 2 fica 4|abc. (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 4(k²+k)+1 -> 4r+1 Divisibilidade por 3: Caso em que a ou b é da forma 3k é automático 3|abc. Caso em que a ou b são da forma 3k+1 ou 3k+2:7 (3k+1)² = 9k²+6k+1 -> 3(3k²+2k)+1 -> 3r+1 (3k+2)² = 9k²+12k+4 -> 3(3k²+4k+1)+1 -> 3r+1 Ou seja, a² é côngruo com b² módulo 3. m²-n² garante 3|abc. Divisibilidade por 5: Caso em que a ou b é da forma 5k é automático 5|abc. Caso em que a ou b são da forma 5k+1 ou 5k+4: (5k+1)² = 25k²+10k+1 -> 5(5k²+2k)+1 -> 5r+1 (5k+4)² = 25k²+40k+16 -> 5(5k²+8k+3)+1 -> 5r+1 Caso em que a ou b são da forma 5k+2 ou 5k+3: (5k+2)² = 25k²+20k+4 -> 5(5k²+4k)+4 -> 5s+4 (5k+3)² = 25k²+30k+9 -> 5(5k²+6k+1)+4 -> 5s+4 Para o caso de a e b serem da forma 5k+1 ou 5k+4, m² é côngruo a n² módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc. Para o caso de a e b serem da forma 5k+2 ou 5k+3, m² é côngruo a n² módulo 5, logo m²-n² garante 5|abc. No caso de m² ser incôngruo a n², temos que suas somas são côngruas módulo 5. Um é da forma 5k+1 ou 5k+4 e o outro é da forma 5k+2 ou 5k+3. Logo um deles assume a forma 5r+1 e o outro a forma 5s+4 oui vice-versa. Portanto m²+n² garante 5|abc. Portanto 3.4.5 = 30|abc sendo a,b,c uma terna pitagórica. Em Mon, 28 Apr 2014 19:31:59 -0700 (PDT) luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br> escreveu: > Ola Pessoal, > > Eu não sei se já postei isso aqui, mas trabalhando em alguns > problemas, encontrei algumas coisas interessantes : > > A) Relações Trigonométrica entre os ângulos de um triângulo > qualquer (fiz os cálculos usando um triangulo acutângulo qqer de > lados x,y e z) > 1) Cos2X + Cos2Y + Cos2Z + > 2CosXCosYCosZ = 1 > > Quando um dos ângulos é 90º , a relação se reduz a : > > Cos2X + Cos2Y = 1 > > Como X+Y = 90º > > Cos2X + Sen2X = 1 > > De (1), resultam as seguintes relações : > > 2) Cos2Y + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2X > > 3) Cos2X + Cos2Z + 2CosXCosYCosZ = Sen2Y > > 4) Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ = Sen2Z > > 5) 4R2 (Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ) > = z2 > > E as outras relações envolvendo R e x e R e y > > > R raio do círculo circunscrito e x,y e z lados do triangulo. > > 6) 2 = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z > - 2CosXCosYCosZ > > 6) 1 + Sen2X + Cos2X = Sen2X + Sen2Y + Sen2Z - 2CosXCosYCosZ > > > Pela lei dos Senos, temos que SenX, SenY e SenZ formam um > triangulo semelhante ao triângulo de lados x, y e z. Dessa forma, > temos : > Sen2Z = Sen2X + Sen2Y - 2SenXSenYCosZ > > De (4) temos que : > > Sen2Z = Cos2X + Cos2Y + 2CosXCosYCosZ > > Ou seja, os triângulos de lado SenX, SenY e SenZ e CosX, > CosY e SenZ formam um quadrilátero inscritível com diagonal SenZ, em > um cíuculo cujo raio R = ½ > > A) Ternos Pitagóricos Primitivos > > Dado o terno pitagórico a,b e c, 3 x 4 x 5 = 60 divide abc > > Eu procurei na internet e não achei essas relações. Vcs sabem de > alguma coisa? > > Abs > Felipe -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
