Hmmm, acho que se f nao for de classe C1, e resposta eh "nao necessariamente".
Afinal, tome f(x)=x^2.sin(1/x) e a=0. Dah para mostrar que f'(0)=0, certo? Agora para k=1,2,3,..., tome xk=1/(2kpi+pi/2) e yk=1/(2kpi). Entao f(xk)=xk^2 e f(yk)=0 (no grafico fica claro -- os x_k correspondem aos "picos" de f(x) e os y_k sao as raizes de f "logo em seguida"). Pois bem, (f(yk)-f(xk)) / (yk-xk) = -xk^2 / (yk-xk) nao vai para 0 quando k->+Inf (faca a conta!), apesar de termos xk->0 e yk->0 quando k->+Inf. Entao tomando g(x)=x/(2pi+pi.x/2) e h(x)=x/2pi ou algo assim, vai dar tudo errado -- sempre que x=1/k, estamos na situacao acima, onde o seu limite NAO DAH 0, portanto o limite que voce pede NAO DAH 0 (acho que nao existe). Outra opcao seria tomar uma funcao escada g(x) que assume os valores da forma x_k, enquanto h(x) eh uma funcao escada assumindo apenas os valores y_k. Acertando os detalhes, dah para fazer ambas serem continuas e irem para 0 quando x->0 (tipo, faca g(x)=x_k se 1/k<x<1/(k-1) ou algo parecido). Entao eh pior: seu limite VAI EXISTIR, e nao vai ser a derivada zero. Bom, tem bastante trabalho para escrever os detalhes, mas a ideia funciona! Abraco, Ralph. 2014-06-24 1:22 GMT-03:00 Merryl <sc...@hotmail.com>: > Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto, > > Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções > contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma > vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade que > > lim (x --> 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ? > > Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato f'(a)? > > Obrigada > > Amanda > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
