Pois é. Em espírito, a minha ideia foi tomar a+g(x) MUITO PERTO de a+h(x), de forma que aquele quociente está muito mais para f'(a+g(x)) (ou f´(a+h(x)), sei lá, eles estão MUUUITO PERTO um do outro) do que para f'(a). Como o Artur disse, é importante no exemplo que g(x)~h(x) (MUUUUUUUUUUUITO PERTO), o que fica bem traduzido por lim g/h=1.
Enfim, se f´(x) não for contínua, f'(a+g(x)) não precisa se aproximar de f'(a) quando g(x) vai para 0, e daí vem o problema todo -- minha função não é C1. 2014-06-26 15:08 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>: > Se lim (x --> 0) g(x)/h(x) = L <> 1 no sistema dos reais expandidos, então a > resposta é sim. > > Utilizando a notação o, a diferenciabilidade de f em a implica que, para > todo h tal que a + x permaneça no domínio de f, tenhamos > > f(a + h) = f(a) + f'(a) h + o(h), sendo o uma função contínua em 0 tal que > o(0) = 0 e tal que o(h)/h --> 0 quando h --> 0. Com isto, o seu quociente > de Newton generalizado q torna-se > > q(x) = (f(a) + f'(a) g(x) + o(g(x)) - (f(a) + f'(a) h(x) + o(h(x)))/(g(x) - > h(x)) = > > f'(a) + (o(g(x) - o(h(x))/(g(x) - h(x)) > > Suponhamos que lim ( x --> 0) g(x)/h(x) = L em R, diferente de 1. Então, > existe uma vizinhança deletada de 0 na qual h não se anula e, dividindo o > numerador e o denominador por h(x), seu quociente de Newton generalizado > pode então ser escrito como > > q(x) = f'(a) + (o(g(x))/g(x) g(x)/h(x) - o(h(x)/h(x))/(g(x)/h(x) - 1) > > Assim, > > lim ( x --> 0) q(x) = f'(a) + (0 . L - 0)/(L - 1) = f'(a) + 0 = f'(a) > > Bateu!!!!!! > > Se L = + ou - oo, então lim (x -->0) g(x)/h(x) = 0. Divindindo agora em cima > e em baixo por g(x), que não se anula em uma vizinhança deletada de 0, um > raciocínio similar ao anterior mostra que bate de novo com f'(a). > > Mas pode acontecer que L = 1 ou que, quando x --> 0, não exista lim > g(x)/h(x). E agora, José? > > Eu fiz uns testes com L = 1 e bateu, mas não sei se é sempre verdade não. O > raciocínio acima não serve para L = 1, pois o denominador tende a 0. E se o > limite de g(x)/h(x) não existir em 0, a coisa parece ainda mas complicada. > Como o Ralph esquematizou, acho que nestes casos pode dar qualquer coisa. O > limite de q pode ser f'(a) como outro valor, como pode nem existir. > > Abraços > > Artur > > > > Em terça-feira, 24 de junho de 2014, Merryl <sc...@hotmail.com> escreveu: >> >> Boa noite, amigos. Gostaria de ajuda com isto, >> >> Seja f uma função de R em R, diferenciável em a. Sejam g e h funções >> contínuas em 0 tais que g(0) = h(0) = 0. Suponhamos que exista uma >> vizinhança deletada de 0 na qual g - h não se anule. Então, é verdade que >> >> lim (x --> 0) [f(a + g(x)) - f(a + h(x))]/[g(x) - h(x)] = f'(a) ? >> >> Não tenho certeza. Este limite tem que existir? Se existir, é de fato >> f'(a)? >> >> Obrigada >> >> Amanda >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
