2)
M-N e raiz igual ao item 1
N-M e raiz igual ao item 1
(M+N)^2-0-(M+N)^2=0
-M-N e raiz tambem
2014-08-08 3:15 GMT-03:00 saulo nilson <saulo.nil...@gmail.com>:
> Seja P(x) um polinômio não identicamente nulo e de coeficientes racionais,
> e sejam a, m e n números racionais
> — m e n são positivos e m^(1/2) e n^(1/2) são números irracionais. Sejam M
> = m^(1/2) e N = n^(1/2). Pode-se então afirmar:
>
> 1) Se a + M é raiz de P(x), então a - M também o é (e com a mesma
> multiplicidade).
> P(x)=C(x-r1)(x-r2)(x-r3)....=C(a-M-a-M)(a-M-r2)(a-M-r3)...
> (a-M)^2-(2a)(a-M)+a^2-M^2=0 de grau 2 e- verdade
> como
> P^n(x)=CP2(x)*P^(n-2)(x) e p2(x)=0 entao
> P^n(x)=0 tambem
>
> 2) Se M + N é raiz de P(x), então M - N, -M + N e -M-N também o são (e
> todas as quatro raízes têm a mesma multiplicidade)
>
>
> 2014-08-07 20:31 GMT-03:00 Willy George Amaral Petrenko <
> wgapetre...@gmail.com>:
>
> Bem, o Bernardo já corrigiu o enunciado, então vou partir daí.
>>
>> Vc sabe álgebra "avançada"? Anéis, corpos, ideais, domínios euclidianos,
>> anéis quociente, anéis de polinômios? Seria o ideal (pun intended) para
>> entender a demonstração. Mas talvez dê para pegar a ideia sem isso, vou
>> tentar ser didático.
>>
>> Um negócio sobre o conjunto dos polinômios de coeficientes racionais
>> (chamado Q[x]), é que ele é um domínio euclidiano. Dentre outras
>> propriedades, isso significa que vc pode fazer uma divisão de polinômios,
>> chamada divisão euclidiana:
>>
>> Sejam f e g ∈ Q[x]. Então existem únicos q e r ∈ Q[x], com grau (r) <
>> grau (g) tais que f = g*q + r
>>
>> Isso não é difícil de provar, dá pra fazer por indução no grau.
>>
>> Considere um polinômio do tipo g(x) = x2 - m, que não possui raiz
>> racional (ou seja, as raiz dele são √m e -√m, ambas irracionais). Seja
>> p(x), um polinômio racional com raiz a+b√m. Definimos f(x) = p(bx+a). É
>> fácil ver que f tem √m como raiz. Além disso, ele continua sendo um
>> polinômio racional. Gostaríamos de provar que f também possui -√m como
>> raíz. Façamos a divisão de f por g:
>>
>> f(x) = (x2 - m)*q(x) + r(x), com grau (r) < grau (x2 - m) = 2. Ou seja,
>> r é de grau no máximo 1 e portanto é da forma r(x) = cx + d. Mas f(√m) =
>> 0:
>>
>> f(√m) = (√m2 - m)*q(√m) + r(√m) ==> 0 = r(√m) ==> c√m + d = 0. Mas
>> lembre que r é um polinômio racional também, logo c = d = 0, pois caso
>> contrário teríamos -d/c = √m, absurdo pois √m não é racional.
>>
>> Tudo isso significa que r(x) é identicamente nulo, ou seja, que f é
>> divisível por x2 - m. Logo ele também possui -√m como raíz. Aplicando
>> isso na definição de f, descobrimos que o polinômio original tem a-b√m como
>> raiz, cqd.
>>
>>
>> Para a parte 2, temos que considerar o corpo Q2 = {a√m + b, a,b ∈ Q}.
>> Ele também é euclidiano. Considere os polinômios em Q2 = Q2[x]. Esse
>> conjunto é uma extensão de Q[x] - de fato, todo polinômio com coeficientes
>> racionais tem coeficientes da forma a√m + b com a = 0. A demonstração
>> segue análoga à da parte 1, só que agora g(x) = x2 - n, que não possui
>> raízes em Q2. Além disso, p(x) tem raiz a + b√m + c√n, e vc vai definir
>> o f ∈ Q2 de forma que ele tenha √n como raíz, ou seja f(x) = p(a + b√m +
>> cx).
>>
>> Obviamente o resultado pode ser facilmente extendido por indução para n
>> raízes independentes
>>
>>
>> Abç
>>
>> Willy
>>
>>
>> 2014-08-07 8:47 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
>> bernardo...@gmail.com>:
>>
>> 2014-08-07 7:21 GMT-03:00 Pedro Chaves <brped...@hotmail.com>:
>>> > Prezados Colegas,
>>> >
>>> > Gostaria de saber se alguém conhece uma demonstração do teorema abaixo.
>>> > Um abraço do Pedro Chaves!
>>> > _______________________
>>> >
>>> > Teorema das raízes irracionais:
>>> >
>>> >
>>> > Seja P(x) um polinômio não identicamente nulo e de coeficientes
>>> racionais, e sejam a, m e n números racionais
>>> > — m e n são positivos e m^(1/2) e n^(1/2) são números irracionais.
>>> Sejam M = m^(1/2) e N = n^(1/2). Pode-se então afirmar:
>>> >
>>> > 1) Se a + M é raiz de P(x), então a - M também o é (e com a mesma
>>> multiplicidade).
>>> >
>>> > 2) Se M + N é raiz de P(x), então M - N, -M + N e -M-N também o são (e
>>> todas as quatro raízes têm a mesma multiplicidade).
>>>
>>> Essa segunda é falsa. Seja M = raiz(2) e N = 2*raiz(2), de forma que m
>>> = 2 e n = 8. Seja agora P(x) um polinômio com raiz M + N = 3*raiz(2).
>>> Basta tomar P(x) = x^2 - 18. Para este polinômio, -(M+N) também é
>>> raíz, mas nem M-N nem -(M-N) são.
>>>
>>> Para ser verdade, você precisa que M e N sejam "racionalmente
>>> independentes", o que é (quase) o que você quer mostrar no teorema...
>>>
>>> Abraços,
>>> --
>>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> =========================================================================
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =========================================================================
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
