Legal. Achei bom o problema. Principalmente o resultado sobre a densidade dos interessantes.
Em 19 de dezembro de 2014 13:36, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu: > > Consigo arrumar o problema, mas vai ficar faltando um pedaco no final. > > Note que dah para escrever m de forma mais explicita. > > m=[n^2-(n-1)^2]+[(n-2)^2-(n-3)^2]+...+[(n-(k-1))^2-(n-k)^2] > onde tem (k+1)/2 pares de termos ali em cima > m=[2n-1]+[2n-5]+[2n-9]+...+[2n-(2k-1)] > m=n(k+1)-[1+5+9+...+(2k-1)] > m=n(k+1)-(2k).(k+1)/2 2 = (2n-k).(k+1)/2 > > Ou seja, m eh perfeito se for possivel fatora-lo do jeito que estah aa > direita, com n>k>0 e k impar. > > Entao voce TEM que fatorar m=I.J onde I=2n-k eh impar (talvez haja varias > escolhas para I e J -- veremos aa frente); e entao TEM que tomar 2n-k=I e > (k+1)/2=J, isto eh, k=2J+1 e n=(k+I)/2. > > Isto dito, SE voce fatorar m=I.J com I impar, voce (quase) sempre PODE > tomar k=2J+1 e n=(k+I)/2! Note que k eh automaticamente positivo e impar! > Ha apenas um problema: precisamos que n>k, isto eh, que > > (k+I)/2 > k > I > k > I > 2J+1 > > Resumindo: se for possivel escrever m=I.J com I impar e I>2J+1, entao m eh > interessante. Senao, m NAO eh interessante! > > Bom, entao nao perdemos nada se supusermos que I eh o maior fator impar > possivel de m... Ou seja: > > i) Escreva m=2^s.I onde I eh impar (s>=0, I>=1). > ii) Entao m eh interessante se, e somente se, I>2^(s+1)+1 > > Ou seja, os numeros interessantes sao: > a) s=0 implica I>=3: 3,5,7,9,11,13,15,17,... (todos os impares exceto 1) > b) s=1 implica I>=7: 14,18,22,26,30,34,38,... > c) s=2 implica I>=11: 44,52,60,68,76,84,92,... > d) s=3 implica I>=19: 136,152,168,184,... > e) s=4 implica I>=35... > ... > > Bom, isso explicita QUEM sao os interessantes, mas ainda fica faltando a > probabilidade... :) > > Abraco, Ralph. > > > 2014-12-19 3:43 GMT-02:00 Marcos Martinelli <mffmartine...@gmail.com>: > >> Um número natural m é chamado interessante se existirem n e k naturais >> tais que n > k > 0, k é ímpar e ainda: >> >> m = n^2 - (n - 1)^2 + (n - 2)^2 - ... - (n - k)^2 . >> >> Seja P_N a probabilidade de escolhermos um número interessante dentre os >> primeiros N naturais. >> >> Calcular lim (P_N / N) quando N -> + infty. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
