*Gostaria de ajuda com a seguinte questão vinda da Romênia , acho que da olimpíada (o livro não especifica qual olímpíada e qual ano) :
- Seja f: R --> R uma função sobrejetiva , satisfazendo a seguinte propriedade : para toda sequência divergente (a_n) , n > = 1 , a sequência (f(a_n)) , n> = 1 , também é divergente . Prove que f é bijetiva e que sua função inversa f^(-1) é contínua. *O livro oferta a seguintes dicas : 1.(Para provar que f é bijetiva) Tome x,y em R distintos e considere (a_n) ,n > = 1 , a sequência divergente tal que a_2k = x e a_2k-1 = y , para todo k > = 1 , e utilize a segunda hipótese do enunciado . * Aqui deduzimos que existe e > 0 tal que para todo n* em N temos: m,n > n*, m > n , então | f(a_m) - f(a_n) | = | f(x) - f(y) | > = e ; pela relação entre sequências convergentes e sequências de Cauchy , e então negando a afirmação : ( f(a_n) ) ,n > =1 , é convergente . 2.(Para provar que f^(-1) é contínua) Use as Hipóteses sobre f para mostrar que f^(-1) transforma sequências convergentes em sequências convergentes. *Parei por aqui mas os seguintes comentários são pertinentes : I. O capítulo do livro em que tirei este problema fala sobre Continuidade Sequencial e prova o seguinte TMA : Uma função f: I --> R , onde I é um intervalo, é contínua se , e só se , a seguinte condição for satisfeita : para todo a em I e toda sequência (a_n),n > = 1, de elementos de I , temos : lim(a_n) = a , então lim( f(a_n) ) = f(a) . (não consegui só com ele) II. Procurei sobre o TMA em outro livro ,Curso de Análise Vol.1 Elon Lages , Capítulo VII , e encontrei o seguinte corolário : A fim de que f seja contínua no ponto a , é suficiente que , para toda sequência de pontos a_n de X ( creio que X é uma união de Intervalos) com lim( a_n ) = a , exista lim( f(a_n) ) . O mesmo não foi demonstrado ,e também não consegui faze-lo , mas acho que ele é suficiente para resolver a questão. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
