*Gostaria de ajuda com a seguinte questão vinda da Romênia , acho que da
olimpíada (o livro não especifica qual olímpíada e qual ano) :

- Seja f: R --> R  uma função sobrejetiva , satisfazendo a seguinte
propriedade : para toda sequência divergente (a_n) , n > = 1 ,  a sequência
(f(a_n)) , n> = 1 , também é divergente .  Prove que  f  é bijetiva e que
sua função inversa f^(-1) é contínua.

*O livro oferta a seguintes dicas :

1.(Para provar que f é bijetiva) Tome x,y  em R distintos e considere (a_n)
,n > = 1 , a sequência divergente tal que a_2k = x  e  a_2k-1 = y , para
todo k > = 1 , e utilize a segunda hipótese do enunciado .

* Aqui deduzimos que existe e > 0  tal que  para todo n* em N  temos: m,n >
n*,  m > n ,  então   | f(a_m) - f(a_n) | = | f(x) - f(y) | > =  e  ; pela
relação entre sequências convergentes e  sequências de Cauchy ,  e então
negando a afirmação :  ( f(a_n) ) ,n > =1 ,  é convergente .

2.(Para provar que f^(-1)  é contínua) Use as Hipóteses sobre f  para
mostrar que f^(-1) transforma sequências convergentes em sequências
convergentes.

*Parei por aqui mas os seguintes comentários são pertinentes :

I.  O  capítulo do livro em que tirei este problema fala sobre Continuidade
Sequencial  e prova  o seguinte TMA : Uma função f: I --> R , onde I é um
intervalo, é contínua se , e só se , a seguinte condição for satisfeita :
para todo a  em  I   e  toda sequência (a_n),n > = 1, de elementos de I ,
temos : lim(a_n)  = a   , então  lim( f(a_n) ) =  f(a) .  (não consegui só
com ele)

II. Procurei sobre o TMA em outro livro ,Curso de Análise Vol.1  Elon Lages
, Capítulo VII , e encontrei o seguinte corolário :  A fim de que f seja
contínua  no ponto  a  , é suficiente que , para toda sequência  de pontos
a_n  de  X   ( creio  que  X  é uma união de Intervalos)   com  lim( a_n )
=  a   ,   exista   lim( f(a_n) ) .  O mesmo não foi demonstrado ,e  também
não consegui faze-lo  , mas acho que ele é suficiente para resolver a
questão.

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