Obrigado. Em 27 de fevereiro de 2015 12:55, Esdras Muniz <esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
> Bem, para a bijeção só falta mostrar a injeção, suponha por absurdo x<y e > f(x)=f(y), a sequência x, y, x, y, x, y, .... é divergente, mas sua imagem > não, pois é constante, já q f(x)=f(y). > Agora, suponha a inversa "g" descontínua, então existe e>0, e x real tais > que para todo n natural, > |g(x)-g(y)|>e, para |x-y|<1/n. Então vc faz x=f(a) e y=f(bn), onde a > sequência bn é divergente, assim fica: > |a-bn|>e (já que bn diverge) além disso |f(a)-f(bn)|<1/n, o que implica > que f(bn) converge para f(a), gerando um absurdo. > Talvez haja algum erro bobo que precise ser corrigido, mas acho q é isso. > > Em 27 de fevereiro de 2015 08:37, Gabriel Lopes <cronom...@gmail.com> > escreveu: > >> *Gostaria de ajuda com a seguinte questão vinda da Romênia , acho que da >> olimpíada (o livro não especifica qual olímpíada e qual ano) : >> >> - Seja f: R --> R uma função sobrejetiva , satisfazendo a seguinte >> propriedade : para toda sequência divergente (a_n) , n > = 1 , a sequência >> (f(a_n)) , n> = 1 , também é divergente . Prove que f é bijetiva e que >> sua função inversa f^(-1) é contínua. >> >> *O livro oferta a seguintes dicas : >> >> 1.(Para provar que f é bijetiva) Tome x,y em R distintos e considere >> (a_n) ,n > = 1 , a sequência divergente tal que a_2k = x e a_2k-1 = y , >> para todo k > = 1 , e utilize a segunda hipótese do enunciado . >> >> * Aqui deduzimos que existe e > 0 tal que para todo n* em N temos: m,n >> > n*, m > n , então | f(a_m) - f(a_n) | = | f(x) - f(y) | > = e ; >> pela relação entre sequências convergentes e sequências de Cauchy , e >> então negando a afirmação : ( f(a_n) ) ,n > =1 , é convergente . >> >> 2.(Para provar que f^(-1) é contínua) Use as Hipóteses sobre f para >> mostrar que f^(-1) transforma sequências convergentes em sequências >> convergentes. >> >> *Parei por aqui mas os seguintes comentários são pertinentes : >> >> I. O capítulo do livro em que tirei este problema fala sobre >> Continuidade Sequencial e prova o seguinte TMA : Uma função f: I --> R >> , onde I é um intervalo, é contínua se , e só se , a seguinte condição for >> satisfeita : para todo a em I e toda sequência (a_n),n > = 1, de >> elementos de I , temos : lim(a_n) = a , então lim( f(a_n) ) = f(a) >> . (não consegui só com ele) >> >> II. Procurei sobre o TMA em outro livro ,Curso de Análise Vol.1 Elon >> Lages , Capítulo VII , e encontrei o seguinte corolário : A fim de que f >> seja contínua no ponto a , é suficiente que , para toda sequência de >> pontos a_n de X ( creio que X é uma união de Intervalos) com >> lim( a_n ) = a , exista lim( f(a_n) ) . O mesmo não foi >> demonstrado ,e também não consegui faze-lo , mas acho que ele é >> suficiente para resolver a questão. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > -- > Esdras Muniz Mota > Mestrando em Matemática > Universidade Federal do Ceará > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
