Bom dia!
Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente se
m.d.c.(a,b) divide c.
Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
12 = 7 * 1 + 5
7 = 5 * 1 + 2
5 = 2 * 2 + 1
Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e 7.
(embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de modo
sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
5 = 12 - 7 (i)
2 = 7 - 5 (ii)
1 = 5 - 2 *2 (iii)
(ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
(iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da equação 7
x - 12 y = 11.
Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) <==>
7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) ==> y
= -33 + 7*t (vi)
(vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + 7*t, t ƐZ
}
Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos entre
si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta dividir todos
os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem soluções se
m.d.c.(a,b) divide c.
Tem o artigo do eduardo Tengan:
http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há demonstrações
e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas equações.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire <b...@ccet.ufrn.br>
escreveu:
> Pedro,
>
> 7 é o inverso de 7 módulo 12
>
> --
> Open WebMail Project (http://openwebmail.org)
>
>
> *---------- Original Message -----------*
> From: Pedro Chaves <brped...@hotmail.com>
> To: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
> Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>
> > Caros Colegas,
> >
> > A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?
> Não consegui.
> >
> > Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
> >
> > Abraços.
> > Pedro Chaves
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> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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