Boa tarde! Se são seis pontos (P1, P2, P3...P6) nós temos 15 seguimentos. Numero combinatório de 6 dois a dois = 6*5/2 = 15.
Sem perda de generalidade o segmento central na sequência ordenada, ou seja o oitavo da fila, será denominado P1P2. Logo nós temos 8 segmentos que podem formar um triângulo com esse lado. P1P3, P1P4, P1P5, P1P6, P2P3, P2P4, P2P5 E P2P6 não necessariamente com essa ordem de comprimento. |_1_| |_2_| |_3_| |_4_| |_5_| |_6_| |_7_| |_P1P2_| |_9_| |_10_| |_11_| |_12_| |_13_| |_14_| |_15_| Então as possibilidades serão 7 para segmentos de comprimento maior do que o de P1P2 e mais 7 para segmentos com comprimentos menores do que P1P2. Como temos 8 segmentos.. Logo teremos pelo menos um segmento com comprimento menor que P1P2 e pelo menos um com comprimento menor que P1P2. Então se tivermos pelo menos dois segmentos maiores que P1P2 e dois menores que P1P2 o problema está resolvido. Pois, construo um triângulo com dois segmentos menores e P1P2 ==> P1P2 será o maior lado desse triângulo. Construo um outro com dois segmentos maiores e P1P2 ==> P1P2 será o menor lado. então P1P2 só não será simultaneamente mínimo e máximo para algum triângulo nas seguintes condições. (i) só há um dos segmentos destacados em amarelo com comprimento menor que P1P2. (ii) só há um dos segmentos destacados em amarelo com comprimento maior que P1P2. Vamos estudar o primeiro caso, pois; são análogos: Sem perda de generalidade. Chamemos o seguimento que tem comprimento menor do que P1P2 de P2P6. Então os segmentos de comprimento inferior a P1P2 são; P3P4, P3P5, P3P6, P4P5, P4P6, P5P6 E P2P6. Então tomemos Três vértices que formem um triângulo com lados nos destacados em azul por exemplo: P3, P4 e P5. (a) Determine o lado de comprimento máximo, s.p.g., chamemos de P3P4. Então P3P4 é o maior lado do triângulo de vértices: P3, P4 e P5. (b) Já para o triângulo de vértices P1, P3 e P4, P3P4 é o menor lado do triângulo; pois, Todos segmentos destacados em azul são menores que os destacados em amarelo. (ii) Para esse caso é só fazer a separação escolher e seguir o mesmo caminho só que ao invés de escolher o lado máximo, escolha o lado mínimo do triângulo de vértices P3, P4 e P5 e .... Esse problema fez parte 18a Olimpiada de Maio no ano de 2012. Questionei o pessoal da OBM se há arquivo com solução, mas ainda não me responderam. Talvez a solução deles seja mais simples. O probema pode ser encontrado no mesmo caminho que indicara: http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/ Procurar Eureka 37 (o arquivo em word está dano bug quando abro, só deu certo o PDF), página 4. Saudações, PJMS Em 8 de maio de 2015 20:25, Mariana Groff <bigolingroff.mari...@gmail.com> escreveu: > Boa Noite, > Alguém poderia ajudar-me no seguinte problema: > Temos seis pontos de maneira que não haja três pontos colineares e que os > comprimentos dos segmentos determinados por estes pontos sejam todos > distintos. Consideramos todos os triângulos que têm seus vértices nesses > pontos. Demonstre que um dos segmentos é, ao mesmo tempo, o menor lado de > um desses triângulos e o maior lado de outro. > Obrigada, > Mariana > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
