x^2 - 2y^4 = 1 x^2 - 1 = 2y^4 (x+1)(x-1) = 2y^4 Como 2y^4 é par, x tem que ser ímpar. Assim, x = 2k + 1. Substituindo: (2k+2)(2k) = 2y^4 4k(k+1) = 2y^4 2k(k+1) = y^4
Como 2k(k+1) é par, y tem que ser par. Assim, y = 2u Substituindo: 2k(k+1) = 16u^4 k(k+1) = 8u^4 Como k e k+1 tem paridades opostas, temos que 8|k ou 8|k+1. Caso 1: Se 8|k, então: k = 8w, logo 8w(8w+1) = 8u^4 => u^4 = w(8w+1) Claramente, u = w = 0 é solução. Nesse caso, k = 0, logo, x = 1 e y = 0. Analisando essa equação módulo 2, temos u == w (mod2). Acho que não tem outra solução, mas não consegui achar uma contradição. Testei e não tem solução de w = 1 até 1 milhão. Caso 2: Se 8|k+1, então: k+1 = 8w, logo (8w-1)8w = 8u^4 => u^4 = w(8w-1) Novamente, u = w = 0 é solução. Nesse caso, k = -1, logo, x = -1 e y = 0. Analisando essa equação módulo 2, temos u == w (mod2). Acho que não tem outra solução, mas não consegui achar uma contradição. Testei e não tem solução de w = 1 até 1 milhão. Acho que as únicas soluções são (1, 0) e (-1, 0). Estou sem tempo agora, mas posso tentar mais tarde. Abraços, Salhab 2015-05-15 14:24 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com>: > Encontrar todas as soluções inteiras de x^2-2y^4=1. > > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
