*Hummm acho que consegui!*
*Vamos lá, fiz z^2=y^4(assim z deve ser um quadrado perfeito). Logo a equação x^2-2z^2=1. Essa equação representa uma hipérbole, então dá pra encontrar as soluções racionais nessa curva, fácil ver que (x,y)=(1,0) é solução, assim considere uma reta que passa por esse ponto e intercepta a hip. no outro ponto (a,b), logo a equação dessa reta será y-0=m(x-1), ou y=m(x-1).* *Agora substituindo na equação da hip. Teremos a seguinte equação do segundo grau (1-m^2)x^2+4m^2x-2m^2-1=0, onde conhecemos uma das raízes que é “1”.* *Agora podemos usar o produto para encontrar a outra “a” , assim * *1.a=(-2m^2-1)/(1-2m^2), logo temos todas as soluções racionais da curva * *x^2-2z^2=1, que serão (x,z)=( (-2m^2-1)/(1-2m^2),m((-2m^2-1)/(1-2m^2) -1) ).* *Agora basta verificar para quais valores de m x=(-2m^2-1)/(1-2m^2) será inteiro, podemos escrever x=1- 2/(1-2m^2), assim 1-2m^2 deve ser divisor de 2, ou seja, 1-2m^2=1, 1-2m^2=-1, 1-2m^2=2(não real), 1-2m^2=-2(não inteira), onde temos respectivamente os valores m=0, m=-1, m=1 , assim os valores de x só podem ser -1 ou 3, e os de z só podem ser 0,2,-2, mas como z deve ser um quadrado perfeito só pode ser igual a 0, assim (x,y)=(1,0), ou (x,y)=(-1,0).* *Pronto acabou.* *Valeu, um abraço* *Douglas Oliveira.* Em 20 de maio de 2015 12:28, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> escreveu: > x^2 - 2y^4 = 1 > x^2 - 1 = 2y^4 > (x+1)(x-1) = 2y^4 > > Como 2y^4 é par, x tem que ser ímpar. Assim, x = 2k + 1. > Substituindo: > (2k+2)(2k) = 2y^4 > 4k(k+1) = 2y^4 > 2k(k+1) = y^4 > > Como 2k(k+1) é par, y tem que ser par. Assim, y = 2u > Substituindo: > 2k(k+1) = 16u^4 > k(k+1) = 8u^4 > > Como k e k+1 tem paridades opostas, temos que 8|k ou 8|k+1. > > Caso 1: > Se 8|k, então: k = 8w, logo 8w(8w+1) = 8u^4 => u^4 = w(8w+1) > Claramente, u = w = 0 é solução. Nesse caso, k = 0, logo, x = 1 e y = 0. > Analisando essa equação módulo 2, temos u == w (mod2). > Acho que não tem outra solução, mas não consegui achar uma contradição. > Testei e não tem solução de w = 1 até 1 milhão. > > Caso 2: > Se 8|k+1, então: k+1 = 8w, logo (8w-1)8w = 8u^4 => u^4 = w(8w-1) > Novamente, u = w = 0 é solução. Nesse caso, k = -1, logo, x = -1 e y = 0. > Analisando essa equação módulo 2, temos u == w (mod2). > Acho que não tem outra solução, mas não consegui achar uma contradição. > Testei e não tem solução de w = 1 até 1 milhão. > > Acho que as únicas soluções são (1, 0) e (-1, 0). > > Estou sem tempo agora, mas posso tentar mais tarde. > > Abraços, > Salhab > > > > 2015-05-15 14:24 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com>: > >> Encontrar todas as soluções inteiras de x^2-2y^4=1. >> >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
