Boa tarde! Na verdade 0<a<1, 0<b<1 e 0<c<1.
(ii) ab+bc+ac =1 (v) a+b+c = abc É fácil ver que pelo menos duas varíaveis devam ser menores que 1 para atender (ii) (v) e (ii) impedem que haja apenas uma das varíaveis maior ou igual a 1. Já que o sistema é simétrico. Vamos supor que a >= 1==> ab <1 pois caso contrário não teríamos como atender ab + bc + ac =1; pois, ac>0 e bc>0. Então abc <1 pois c<1 e por (v) abc = a + b +c (absurdo pois a+ b + c > 1). Saudações, PJMS Em 3 de julho de 2015 18:43, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu: > Bom, podemos mostrar que > sen²x+sen²y+sen²z=1; > x+y+z=pi/2 > implicam que algum dos ângulos x, y, z é múltiplo de pi/2 (em particular, > não serão todos positivos). Serve para o que você quer? > > Em primeiro lugar, tome A=2x, B=2y e C=2z. Traduzimos tudo então para: > (1-cosA)/2+(1-cosB)/2+(1-cosC)/2=1, isto é, > cosA+cosB+cosC=1. > A+B+C=pi > E quero mostrar que A ou B ou C são múltiplos de pi, ou seja, que > sinAsinBsinC=0. > > Oras, como A+B+C=pi, cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB. Jogando na primeira: > > sinA.sinB=1-cosA-cosB+cosAcosB=(1-cosA)(1-cosB) > > Se sinAsinB<>0, posso multiplicar isto por (1+cosA)(1+cosB)/(sinAsinB) dos > dois lados: > (1+cosA)(1+cosB)=sinA.sinB > > Igualando essas duas equações, tiro que cosA+cosB=0. Então cosC=1, > portanto sinC=0. > > (Hmmm, que estranho... errei alguma conta?) > > ---///--- > > Suponho que sua primeira condição seja análoga, fazendo a=tanx, > b=tany,c=tanz, acertei? > > Abraço, Ralph. > > > > 2015-07-03 16:01 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: > >> Boa tarde! >> >> (i) a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1 >> (ii) ab+bc+ac=1 >> >> de (i) temos a^2(1+b^2)*(1+c^2) + b^2(1+a^2)*(1+c^2) +c^2*(1+a^2)*(1+b^2) >> = (1+a^2)*(1+b^2)*(1+c^2) >> >> 2*a^2*b^2*c^2 +a^2*b^2 + b^2*c^2 + a^2*c^2 = 1 (iii) >> >> de (ii) 1 = a^2*b^2 + a^2*c^2+b^2*c^2 + 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) (iv) >> >> (iii) e (iv) ==> 2*a^2*b^2*c^2 = 2*(a^2*b*c + b^2*a*c+c^2*a*b) ==> abc= >> a+ b +c (v) >> >> É fácil observar que a=b=c=0 atende (v) >> >> Seja y=abc e z = a+ b+ c >> >> a > 0, b>0 e c>0 e (ii) ==> 0<a<1, 0<b<1 e c0<c<1. ==> ab<1, bc < 1 e >> ac<1. >> >> >> δy/δa = bc, δy/δb = ac, δy/δc = ab e >> >> δz/δa = 1, δz/δb = 1, δz/δc = 1 >> >> Logo y cresce a uma taxa menor z para 0<a<1, 0<b<1 e c0<c<1 e como para >> a=b=c =0 : y=z ==> y < z para 0<a<1, 0<b<1 e c0<c<1. >> >> É bem provável que exista uma solução mais elegante usando alguma >> desigualdade >> >> Sds, >> >> PJMS >> >> >> >> >> >> >> >> >> Em 2 de julho de 2015 14:54, Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: >> >>> Olá pessoal, boa tarde.Será que alguém aí sabe se o problema abaixo >>> existe em algum livro, olimpíada ou em qualquer outro lugar?Por favor, se >>> souberem, me digam qual >>> Prove que o sistema não possui soluções reais positivas: >>> a²/(1+a²)+b²/(1+b²)+c²/(1+c²)=1 >>> ab+bc+ac=1 >>> Ou alguém conhece um problema com o seguinte enunciado: >>> Prove que se sen²a+sen²b+sen²c=1 então a+b+c≠pi/2 >>> Se tiverem o livro/prova que tenham estes problemas, por favor, me digam >>> qual. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
