Olá, Amanda,
Você pode usar a fórmula da distribuição binomial, restringindo apenas aos
valores pares. Assim:
Pn = \sum_{k=0..piso(n/2)} C(n, 2k) * p^{2k} (1-p)^{n - 2k}, onde C(n, 2k)
= n! / [(2k)! (n - 2k)!].
Mas acho que fica difícil calcular lim{n-> inf} Pn usando essa equação.
Para resolver com n -> inf, acho que o mais fácil é encontrar uma recursão.
Veja que existem duas formas de termos uma quantidade par com n+1
realizações. Ou com n é par e temos um insucesso, ou com n é impar e temos
um sucesso. Assim:
P{n+1} = p(1 - Pn) + (1-p)*Pn, com P0 = 1.
Como essa é uma recursão linear, é fácil encontrar uma fórmula fechada para
ela. Fica como exercício pra você. :)
Para o limite, quando n -> inf, e supondo que Pn converge, temos:
lim{n->inf} Pn = a.
Assim:
a = p(1-a) + (1-p)*a
a = p - pa + a - pa
2pa = p
a = 1/2
Assim, se Pn convergir, ele irá convergir para 1/2. Falta só provar que Pn
converge quando n -> inf. Fica como exercício pra você. :)
Obs: Dá para mostrar que converge usando apenas desigualdades.
Obs2: Com a fórmula fechada, é bem fácil mostrar que Pn converge.
Abraços,
Marcelo
2015-10-12 20:17 GMT-03:00 Amanda Merryl <sc...@hotmail.com>:
>
> Oi amigos
>
> Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes
> independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de
> sucessos seja par? Há uma fórmula fechada para Pn?
>
> Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo?
>
> Obrigada.
>
> Amanda
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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