Sendo X a variável aleatória número de sucessos nas n realizações, X tem distribuição binomial com parâmetros n e p (estou supondo que só há dois resultados possíveis, sucesso e fracasso, é um experimento de Bernouille se 0 < p < 1)
Assim, para k = 0, 1,... n, P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k), C(n, k) a combinação de n, k a k. Desta forma, Pn é obtida somando-se os termos acima para os valores pares de k, ou seja Pn = Soma (k par) C(n, k) p^k (1 - p)^(n - k) No somatório de Pn, k vai de 0'até o maior par menor ou igual a n. Para obtermos uma fórmula fechada para Pn, observemos que, pelo Binômio de Newton, C(n, 0) p^0 (1 - p)^(n) + C(n, 1) p^1 (1 - p)^(n - 1) + .... C(n, n) p^n (1 -p)^0 = 1 C(n, 0) (-p)^0 (1 - p)^(n) + C(n, 1) (-p)^1 (1 - p)^(n - 1) + .... C(n, n) (-p)^n (1 -p)^0 = C(n, 0) (p)^0 (1 - p)^(n) - C(n, 1) (-p)^1 (1 - p)^(n - 1) + .... C(n, n) (-p)^n (1 -p)^0 = (-p + 1 - p)^n = (1 - 2p)^n No segundo somatório, substituímos p por - p e mantivemos 1 - p. Assim, os termos com k par se mantém e os com k ímpar permutam seu sinal. Desta forma, somando as duas equações e considerando a definição de Pn, obtemos 2 Pn = 1 + (1 - 2p)^n Pn = (1 + (1 - 2p)^n)/2 E se vc quiser a prob. de que haja um número ímpar de sucessos, chega a 1 - Pn = (1 -(1 - 2p)^n)/2. Se p estiver em (0, 1) (experimento de Bernouille), então |1 - 2p| < 1, (1 -2p)^n --> 0 e, portanto, temos de fato que Pn --> 1/2. Isto bate com a intuição. Não há nenhum motivo para que, à medida em que se aumenta n, os estados pares sejam mais visitados que os ímpares, e vice versa. Mas se p = 0, só há fracassos, temos sempre 0 sucessos, que é par, e Pn = 1 para todo n. o que é confirmado pela fórmula acima. Logo, o limite é 1, Se p = 1, há sempre n sucessos e Pn = 1 se n for par e Pn = 0 se n for ímpar. Logo, não existe limite quando n --> oo. Abraços Artur Costa Steiner Em 12 de out de 2015, às 21:17, Ary Medino <arymed...@yahoo.com.br> escreveu: Cara Amanda Suponho que o experimento a que se refere admite apenas dos resultados: Um chamado de "sucesso", com probabilidade 0 < p < 1 de ocorrer, e outro chamado de "fracasso", com probabilidade 1 - p de ocorrer. Experimentos aleatórios com essas caracterÃsticas são chamados de "ensaios de Bernoulli". Em n realizações independentes de tais experimentos, isto é, n ensaios de Bernoulli independentes, o número de sucessos tem distribuição Binomial com parâmetros n e p. Ou seja, a probabilidade de se obter k sucessos em n ensaios é dada por B(n,k)p^k(1 - p)^(n-k), onde B(n,k) é o número Binomial n tomados k a k. A probabilidade Pn que você busca, isto é, a probabilidade de se obter um número par de sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes, é a soma dos valores B(n,k)p^k(1 - p)^(n-k) com k restrito aos números pares de 0 a n. Você pode fazer uma busca na internet por esses termos para saber mais Abraço Ary Em Segunda-feira, 12 de Outubro de 2015 20:46, Amanda Merryl < sc...@hotmail.com> escreveu: Oi amigos Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçÅes independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de sucessos seja par? Há uma fórmula fechada para Pn? Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo? Obrigada. Amanda -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru�es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Em segunda-feira, 12 de outubro de 2015, Amanda Merryl <sc...@hotmail.com> escreveu: > > Oi amigos > > Um experimento tem probabilidade p de sucesso. Em n realizaçŠes > independentes do mesmo, qual a probabilidade Pn de que o número de > sucessos seja par? Há uma fórmula fechada para Pn? > > Devemos ter lim n --> oo Pn = 1/2, certo? > > Obrigada. > > Amanda > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
