Boa tarde! Novamente, sem perda de generalidade, pois ao final haverá as permutações, a>b>c
4(a+b+c) = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2-2abc-a^3-b^3-c^3 f(a,b,c) = 4(a+b+c) e g(a,b,c) = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2- 2abc-a^3-b^3-c^3 a derivada parcial de g em relação a "a" é: -3a^2 + 2(c + b)a + (c -b)^2 que tem duas raízes distintas de sinais contrários, já que c>b e a é positivo. então o comportamento da função é: decrescente para a <r1 <0 crescente para r1 < a < r2 >0 decrescente para a > r1. mas como a > 0 para um intervalo [ao,a1], temos as seguintes possibilidades: (i) monótona crescente: a1 < r2 (ii) mónotona decrescente ao > r2 (ii) crescente de ao a r2 e decrescente de r2 a a1, ao <r2 e a1 > r2. Como f(a,b,c) é monótona crescente em relação a "a" para todo a, e uma vez que g(a,b,c) cresce mais rápido que f(a,b,c) com relação a "a", se fixarmos b e c, só precisamos nos preocupar com os extremos, se f(ao,b,c) < g(ao,b,c) e f(a1,b,c) < g(a1,b,c) não existe solução para a pertencente a [ao,a1] e b,c fixos. Como o triângulo é escaleno e assumimos a>b>c, temos que para c e b fixos, a pode variar de b+1 a c + b - 1, portanto ao = b+1 e a1 = c + b - 1. Para ao temos: f(ao,b,c) = 8b + 4c + 4 e g(ao,b,c) = 2(c^2-1)b +c^2 + c - c^3. Como b>c temos que: g(ao,b,c) > c^3 + c^2b - 2b +c^2 + c -c^3 = c^2b - 2b +c^2 + c Para c>= 4 temos que g (ao,b,c) > 14 b +20 > f(ao,b,c) f(a1,b,c) = 8b + 8c + 4 g(a1,b,c) = (4c+4)b -2b +1 c>= 4 ==> g(a1,b,c) > 18b +1 > 10b + 8c +1 > 8b + 8c +4. Logo c<=3. c=1, não tem solução. não há triângulos escalenos com lados inteiros sendo um deles igual a 1. fere a desigualdade de existência do triângulo. c=2, só há as seguintes opções b e a = b+1. temos 6b -3 = 8b + 12 ==> não há solução para c=2. para c= 3 temos duas possibilidades c= 3 e b e a= b+1 ou c =2, b e a = b+2 a= b+1, b e c = 3 ==> 8b =32 ==> a=5, b=4 e c=3. a = b+ 2, b e c = 3 ==> 2b = 25, não há solução inteira. A solução é qualquer triângulo congruente a um triângulo de lados 3, 4 e 5. (o triângulo pitagórico de razão da PA =1). Tentei aplicar Tartaglia e garantir que a raiz fosse inteira, mas começou a complicar... Tive de apelar para a derivada direcional. Se encontrarem uma desigualdade para garantir a solução, favor postar. Saudações, PJMS Em 8 de março de 2017 07:59, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Eu consegui algo que pode ajudar. > > [p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2 = p.r = p > > p^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) > > p = (p-a)(p-b)(p-c) > > 8p = 2(p-a) * 2(p-b) * 2(p-c) > > 4(a+b+c) = (-a+b+c) * (a-b+c) * (a+b-c) > > Escreve A = (-a+b+c), B = (a-b+c), C = (a+b-c), assim A+B+C=a+b+c, e > > ABC = 4 (A+B+C) > > Isso dá para ir limitando com desigualdades e recorrer a tentativa e erro. > > 1/4 = 1/(AB) + 1/(AC) + 1/(BC) > > Em 6 de março de 2017 20:08, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > > permutações e não combinações. > > > > Em 6 de março de 2017 20:06, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > >> > >> > >> Boa noite! > >> > >> Fui por aí e achei: > >> > >> 4(a+b+c) = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2-2abc-a^3-b^3-c^3 > >> > >> Se for triângulo equilátero. > >> > >> a=b=c ==> 12a = a^3 ==> a=b=c=raiz(12), que não é inteiro. > >> > >> Se for isósceles com a<>b=c, sem perda de generalidade, pois a equação é > >> simétrica em a,b,c. > >> > >> a^3 -2ba^2+4a + 8b =0 se a é inteiro 8b = ka , com k inteiro positivo > pois > >> a,b>0 > >> > >> a^3 -(k/4)a^3 + 4a + ka = 0 ==> a^3 (1-k/4) = -a (k+4) ==> a^2 = > >> (k+4)/(k/4-1) > >> > >> k/4 -1 | k+4 e k/4 -1 | k-4 ==> k/4 - 1 | 8 ==> k= 36, k= 20, k = 12, > k= 8 > >> e para nenhum valor de k o quociente dá um quadrado perfeito. > >> > >> Portanto o triângulo é escaleno, supondo a > b > c, sem perda de > >> generalidade. > >> > >> Achei a solução (5,4,3) e portanto suas combinações, só que não consegui > >> uma restrição que mostrasse ser única. > >> > >> Vou tentara outra hora. > >> > >> > >> > >> Em 6 de março de 2017 09:08, marcone augusto araújo borges > >> <marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > >>> > >>> Quais são os triângulos cujas medidas dos seus lados são números > inteiros > >>> e o raio > >>> > >>> da circunferência inscrita é 1? > >>> > >>> > >>> tentei por [p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2 = p.r = p, mas... > >>> > >>> > >>> -- > >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >>> acredita-se estar livre de perigo. > >> > >> > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
