Bom dia! Douglas, Você poderia indicar uma literatura sobre o tema de Brahmagupta; pois, não consegui captar como chegou a: a=n(m^2+k^2), b=m(n^2+k^2) , c=(m+n)(mn-k^2) , p=mn(m+n).
Grato, PJMS Em 10 de março de 2017 07:47, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Olá , amigos , já tinha feito esse problema e cai na mesma duvida, se o > 3,4,5 é único. > Caiu uma questão parecida no nível 2 terceira fase dá OBM que pede para > encontrar o triângulo de área mínima que possui lados inteiros e área > inteira. > > Bom em relação a este problema temos como resolve-lo pelas soluções > parametricas de Brahmagupta. > > Onde a=n(m^2+k^2), b=m(n^2+k^2) , > c=(m+n)(mn-k^2) , p=mn(m+n) e > S=mnk(m+n)(mn-k^2) onde (m,n,k)=1, mn>k^2>(m^2)n/2m+n e m>=n>=1. > > Assim o que fiz foi até fácil, como o raio e igual a 1 então , S=p , assim > 1=k(mn-k^2), logo só teremos k=1 e mn=2. Assim o único triângulo será o > 3,4,5. > > Abraços > Douglas Oliveira. > > > Em 8 de mar de 2017 8:22 PM, "Pedro José" <petroc...@gmail.com> escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Novamente, sem perda de generalidade, pois ao final haverá as >> permutações, a>b>c >> >> 4(a+b+c) = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2-2abc-a^3-b^3-c^3 >> >> f(a,b,c) = 4(a+b+c) e g(a,b,c) = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2- >> 2abc-a^3-b^3-c^3 >> >> a derivada parcial de g em relação a "a" é: -3a^2 + 2(c + b)a + (c -b)^2 >> >> que tem duas raízes distintas de sinais contrários, já que c>b e a é >> positivo. >> >> então o comportamento da função é: >> >> decrescente para a <r1 <0 >> crescente para r1 < a < r2 >0 >> decrescente para a > r1. >> >> mas como a > 0 para um intervalo [ao,a1], temos as seguintes >> possibilidades: >> >> (i) monótona crescente: a1 < r2 >> (ii) mónotona decrescente ao > r2 >> (ii) crescente de ao a r2 e decrescente de r2 a a1, ao <r2 e a1 > r2. >> >> Como f(a,b,c) é monótona crescente em relação a "a" para todo a, e uma >> vez que g(a,b,c) cresce mais rápido que f(a,b,c) com relação a "a", se >> fixarmos b e c, >> só precisamos nos preocupar com os extremos, se f(ao,b,c) < g(ao,b,c) e >> f(a1,b,c) < g(a1,b,c) não existe solução para a pertencente a [ao,a1] e b,c >> fixos. >> >> Como o triângulo é escaleno e assumimos a>b>c, >> temos que para c e b fixos, a pode variar de b+1 a c + b - 1, portanto ao >> = b+1 e a1 = c + b - 1. >> >> Para ao temos: f(ao,b,c) = 8b + 4c + 4 e g(ao,b,c) = 2(c^2-1)b +c^2 + c - >> c^3. >> >> Como b>c temos que: g(ao,b,c) > c^3 + c^2b - 2b +c^2 + c -c^3 = c^2b - >> 2b +c^2 + c >> >> Para c>= 4 temos que g (ao,b,c) > 14 b +20 > f(ao,b,c) >> >> f(a1,b,c) = 8b + 8c + 4 >> >> g(a1,b,c) = (4c+4)b -2b +1 >> >> c>= 4 ==> g(a1,b,c) > 18b +1 > 10b + 8c +1 > 8b + 8c +4. >> >> Logo c<=3. >> >> c=1, não tem solução. não há triângulos escalenos com lados inteiros >> sendo um deles igual a 1. fere a desigualdade de existência do triângulo. >> >> c=2, só há as seguintes opções b e a = b+1. >> >> temos 6b -3 = 8b + 12 ==> não há solução para c=2. >> >> para c= 3 temos duas possibilidades c= 3 e b e a= b+1 ou c =2, b e a = b+2 >> >> a= b+1, b e c = 3 ==> 8b =32 ==> a=5, b=4 e c=3. >> >> a = b+ 2, b e c = 3 ==> 2b = 25, não há solução inteira. >> >> A solução é qualquer triângulo congruente a um triângulo de lados 3, 4 e >> 5. (o triângulo pitagórico de razão da PA =1). >> >> Tentei aplicar Tartaglia e garantir que a raiz fosse inteira, mas começou >> a complicar... Tive de apelar para a derivada direcional. >> Se encontrarem uma desigualdade para garantir a solução, favor postar. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> >> Em 8 de março de 2017 07:59, Anderson Torres < >> torres.anderson...@gmail.com> escreveu: >> >>> Eu consegui algo que pode ajudar. >>> >>> [p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2 = p.r = p >>> >>> p^2 = p(p-a)(p-b)(p-c) >>> >>> p = (p-a)(p-b)(p-c) >>> >>> 8p = 2(p-a) * 2(p-b) * 2(p-c) >>> >>> 4(a+b+c) = (-a+b+c) * (a-b+c) * (a+b-c) >>> >>> Escreve A = (-a+b+c), B = (a-b+c), C = (a+b-c), assim A+B+C=a+b+c, e >>> >>> ABC = 4 (A+B+C) >>> >>> Isso dá para ir limitando com desigualdades e recorrer a tentativa e >>> erro. >>> >>> 1/4 = 1/(AB) + 1/(AC) + 1/(BC) >>> >>> Em 6 de março de 2017 20:08, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: >>> > permutações e não combinações. >>> > >>> > Em 6 de março de 2017 20:06, Pedro José <petroc...@gmail.com> >>> escreveu: >>> >> >>> >> >>> >> Boa noite! >>> >> >>> >> Fui por aí e achei: >>> >> >>> >> 4(a+b+c) = a^2b+a^2c+ab^2+ac^2+b^2c+bc^2-2abc-a^3-b^3-c^3 >>> >> >>> >> Se for triângulo equilátero. >>> >> >>> >> a=b=c ==> 12a = a^3 ==> a=b=c=raiz(12), que não é inteiro. >>> >> >>> >> Se for isósceles com a<>b=c, sem perda de generalidade, pois a >>> equação é >>> >> simétrica em a,b,c. >>> >> >>> >> a^3 -2ba^2+4a + 8b =0 se a é inteiro 8b = ka , com k inteiro positivo >>> pois >>> >> a,b>0 >>> >> >>> >> a^3 -(k/4)a^3 + 4a + ka = 0 ==> a^3 (1-k/4) = -a (k+4) ==> a^2 = >>> >> (k+4)/(k/4-1) >>> >> >>> >> k/4 -1 | k+4 e k/4 -1 | k-4 ==> k/4 - 1 | 8 ==> k= 36, k= 20, k = 12, >>> k= 8 >>> >> e para nenhum valor de k o quociente dá um quadrado perfeito. >>> >> >>> >> Portanto o triângulo é escaleno, supondo a > b > c, sem perda de >>> >> generalidade. >>> >> >>> >> Achei a solução (5,4,3) e portanto suas combinações, só que não >>> consegui >>> >> uma restrição que mostrasse ser única. >>> >> >>> >> Vou tentara outra hora. >>> >> >>> >> >>> >> >>> >> Em 6 de março de 2017 09:08, marcone augusto araújo borges >>> >> <marconeborge...@hotmail.com> escreveu: >>> >>> >>> >>> Quais são os triângulos cujas medidas dos seus lados são números >>> inteiros >>> >>> e o raio >>> >>> >>> >>> da circunferência inscrita é 1? >>> >>> >>> >>> >>> >>> tentei por [p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2 = p.r = p, mas... >>> >>> >>> >>> >>> >>> -- >>> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >>> >> >>> > >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ============================================================ >>> ============= >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ============================================================ >>> ============= >>> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
