Eu na verdade pensei ao contrário:
Começamos com o conjunto de todos os subconjuntos de N. Cada conjunto
será representado por uma string infinita de zeros e unzes, da
seguinte forma: Se o conjunto contiver o natural x, o x-ésimo
caractere desta string será 1; caso contrário, será 0.
Botando zero-vírgula na frente, obtemos um número real escrito em base
2, contido no intervalo [0,1] (para efeito de completude do argumento,
admitiremos strings infinitas de 1zes).
Para cada real em [0,1], bastaria escrever na base 2 e criar um
conjunto a partir daí, seguindo os passos acima (se o X-esimo dígito é
1, escolhe X, caso contrário, despreza X).
Isso prova que existe uma bijeção entre o conjunto das partes de N e o
intervalo [0,1].
Agora, provar que [0,1] tem a mesma cardinalidade que R é mais
chatinho. Dá para pensar geometricamente:
Primeiro, [0,1] tem a mesma cardinalidade de [-1,+1], basta dobrar e
tirar 1 (f(x)=2x-1).
Agora, como demonstrar que [-1,+1] bijeta com todos os reais? Bem,
isso não me parece complicado: se pensarmos na inversão de centro zero
e raio um, o elemento X<1 vai ser levado em 1/X>1. Assim, todo número
fora de [-1,+1] é bijetado com um dentro de [-1,+1] - podemos
convencionar que -1,0,+1 vão neles mesmos.
Para sermos mais precisos, o intervalo [0,1] é bijetado em [1,+inf], e
o intervalo [-1,0] em [-inf,-1]
Agora vem o toque final: acrescente 1 em cada elemento do intervalo
[-inf,-1], diminua 1 em cada elemento de [1,+inf] e una os resultados.
Com isso, obtemos uma bijeção de [-inf,-1] união [1,+inf] com toda a
reta!
E acabou!
Em 15 de janeiro de 2018 17:11, Igor Caetano Diniz
<icaetanodi...@gmail.com> escreveu:
> Olá Sávio,
> Muito obrigado. Tava pensando em algo parecido mas agora voce esclareceu
> bastante.
> Abraços
>
> On Jan 15, 2018 16:55, "Sávio Ribas" <savio.ri...@gmail.com> wrote:
>>
>> Boa tarde!
>> A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual à
>> cardinalidade de [0,1].
>> Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por
>> exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR dada
>> por f(x) = tg(pi*x/2).
>> O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que o
>> intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) ->
>> (-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no domínio
>> de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto enumerável A =
>> {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte: Seja B = {0, 1,
>> a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por h(x) = x se x não
>> está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se n>2 é uma bijeção
>> (verifique).
>> Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí,
>> concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade.
>>
>> Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja
>> 0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com infinitas
>> casas (por exemplo, 1 será representado por 0,11111...). Essa escrita
>> binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da
>> seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e somente se
>> b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,0000..., IN corresponde
>> ao 1 = 0,1111... e {2,3,5,7} corresponde a 0,011010100000...). Dessa forma,
>> construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1].
>>
>> Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão em
>> bijeção com [0,1].
>>
>> Sávio
>>
>>
>> Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" <icaetanodi...@gmail.com>
>> escreveu:
>>>
>>> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar
>>> hipótese do contínuo)
>>>
>>> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é
>>> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R|
>>>
>>>
>>> quem puder ajudar, agradeço.
>>>
>>> Abraços
>>>
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>>
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