Eu na verdade pensei ao contrário: Começamos com o conjunto de todos os subconjuntos de N. Cada conjunto será representado por uma string infinita de zeros e unzes, da seguinte forma: Se o conjunto contiver o natural x, o x-ésimo caractere desta string será 1; caso contrário, será 0.
Botando zero-vírgula na frente, obtemos um número real escrito em base 2, contido no intervalo [0,1] (para efeito de completude do argumento, admitiremos strings infinitas de 1zes). Para cada real em [0,1], bastaria escrever na base 2 e criar um conjunto a partir daí, seguindo os passos acima (se o X-esimo dígito é 1, escolhe X, caso contrário, despreza X). Isso prova que existe uma bijeção entre o conjunto das partes de N e o intervalo [0,1]. Agora, provar que [0,1] tem a mesma cardinalidade que R é mais chatinho. Dá para pensar geometricamente: Primeiro, [0,1] tem a mesma cardinalidade de [-1,+1], basta dobrar e tirar 1 (f(x)=2x-1). Agora, como demonstrar que [-1,+1] bijeta com todos os reais? Bem, isso não me parece complicado: se pensarmos na inversão de centro zero e raio um, o elemento X<1 vai ser levado em 1/X>1. Assim, todo número fora de [-1,+1] é bijetado com um dentro de [-1,+1] - podemos convencionar que -1,0,+1 vão neles mesmos. Para sermos mais precisos, o intervalo [0,1] é bijetado em [1,+inf], e o intervalo [-1,0] em [-inf,-1] Agora vem o toque final: acrescente 1 em cada elemento do intervalo [-inf,-1], diminua 1 em cada elemento de [1,+inf] e una os resultados. Com isso, obtemos uma bijeção de [-inf,-1] união [1,+inf] com toda a reta! E acabou! Em 15 de janeiro de 2018 17:11, Igor Caetano Diniz <icaetanodi...@gmail.com> escreveu: > Olá Sávio, > Muito obrigado. Tava pensando em algo parecido mas agora voce esclareceu > bastante. > Abraços > > On Jan 15, 2018 16:55, "Sávio Ribas" <savio.ri...@gmail.com> wrote: >> >> Boa tarde! >> A primeira parte servirá para mostrar que a cardinalidade de IR é igual à >> cardinalidade de [0,1]. >> Não é difícil mostrar que a reta tem a mesma cardinalidade que, por >> exemplo, o intervalo (-1,1) -- basta tomar a bijeção f: (-1,1) -> IR dada >> por f(x) = tg(pi*x/2). >> O passo seguinte seria mostrar que (-1,1) tem a mesma cardinalidade que o >> intervalo (fechado) [0,1], e para isso vamos tomar a bijeção g: (0,1) -> >> (-1,1) dada por g(x) = 2x-1. Mas note que "faltam o pontos 0 e 1" no domínio >> de g. Vamos acrescentar esses pontos, tomando um conjunto enumerável A = >> {a_1, a_2, a_3,...} contido em (0,1) e fazendo o seguinte: Seja B = {0, 1, >> a_1, a_2, a_3, ...}. A função h: (0,1) -> [0,1] dada por h(x) = x se x não >> está em A, h(a_1) = 0, h(a_2) = 1, h(a_n) = a_{n-2} se n>2 é uma bijeção >> (verifique). >> Assim, a função [ h o g^(-1) o f^(-1) ]: IR -> [0,1] é uma bijeção. Daí, >> concluímos que IR e [0,1] possuem a mesma cardinalidade. >> >> Vamos agora mostrar que as cardinalidades de [0,1] e IN são iguais. Seja >> 0,b_1b_2b_3... a representação binária de um número em [0,1] com infinitas >> casas (por exemplo, 1 será representado por 0,11111...). Essa escrita >> binária dos elementos de [0,1] gera uma bijeção com as partes de IN da >> seguinte forma: k perntence a um subconjunto M dos naturais se e somente se >> b_k = 1 (por exemplo, o vazio corresponde ao 0 = 0,0000..., IN corresponde >> ao 1 = 0,1111... e {2,3,5,7} corresponde a 0,011010100000...). Dessa forma, >> construímos uma bijeção entre P(IN) e [0,1]. >> >> Concluímos que P(IN) e IR possuem mesma cardinalidade, pois ambos estão em >> bijeção com [0,1]. >> >> Sávio >> >> >> Em 15 de jan de 2018 13:43, "Igor Caetano Diniz" <icaetanodi...@gmail.com> >> escreveu: >>> >>> Olá a todos, estou com uma dúvida para provar uma questão(Sem usar >>> hipótese do contínuo) >>> >>> Prove que a cardinalidade do conjunto das partes dos números naturais é >>> igual à cardinalidade dos reais, i.e., |P(N)| = |R| >>> >>> >>> quem puder ajudar, agradeço. >>> >>> Abraços >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================