A propriedade de reflexão na elipse é outra consequência interessante da desigualdade triangular e, mais precisamente, da solução do problema de achar o caminho mais curto entre os pontos A e B tocando uma reta dada (A e B estando num mesmo semiplano determinado pela reta).
No fim, o caminho obedece: ângulo de incidência = ângulo de reflexão. Isso está bem explicado no livro What is Mathematics? de Courant e Robbins, no capítulo que trata de máximos e mínimos. Assim, na elipse com focos A e B contendo o ponto O, uma reta r por O é tangente a elipse se e somente se AO e BO fazem o mesmo ângulo com r se e somente se a bissetriz de AOB é perpendicular a r. O problema do Ralph se reduz a achar a tangente comum às duas elipses. E, pela propriedade de reflexão, a bissetriz comum dos ângulos AOB e COD (que são opostos pelo vértice) é perpendicular à tangente comum. Abs, Claudio. Enviado do meu iPhone Em 12 de mar de 2018, à(s) 21:41, Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com> escreveu: > Em 11 de março de 2018 22:37, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu: >> ...e portanto a elipse de focos A e B passando por O tem que ser tangente aa >> elipse de focos C e D passando por O.... Fica como exercicio pensar o que >> uma coisa tem a ver com a outra. > > Heuristicamente, eu chutaria que se tais elipses se cortassem em mais > de um ponto, > existiria outro ponto no interior das regiões que teria soma menor. > Talvez o ponto médio... > >> >> (O que podia ser visto de outras formas, diga-se de passagem, se voce sabe >> que a normal a tal elipse eh a bissetriz de AOB). >> >> Abraco, Ralph. >> >> >> >> 2018-03-11 20:29 GMT-03:00 Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>: >>> >>> É isso aÃ! >>> Uma aplicação simples mas elegante da desigualdade triangular. >>> E o ponto O não parece ser tão difÃcil de conjecturar. Afinal, o ponto de >>> intersecção das diagonais talvez seja o “ponto notável†>>> mais óbvio de um quadrilátero (certamente é o mais fácil de construir - >>> duas aplicações da régua e nenhuma do compasso). >>> >>> E quando, digamos, o vértice D tende ao vértice C do quadrilátero, o >>> ponto >>> O de intersecção das diagonais não tende ao ponto de Fermat do >>> triângulo ABC >>> pois este é o que tem a menor soma das distâncias aos vértices enquanto >>> que >>> O, no limite, minimiza a soma PA + PB + 2PC. >>> >>> Enviado do meu iPhone >>> >>> Em 11 de mar de 2018, à (s) 17:20, Douglas Oliveira de Lima >>> <profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: >>> >>> Seja o quadrilátero ABCD cujas diagonais são AC e BD, e O o ponto de >>> intersecção das diagonais. >>> Seja também um ponto P em seu interior e as distâncias PA, PB, PC, PD, >>> temos por desigualdade triângular >>> que PA+PC>=AC e PB+PD>=BD. Claramente vemos que o ponto P coincide com o >>> ponto O quando a soma das diagonais >>> coincide com a igualdade. Desta forma o ponto procurado é o encontro das >>> diagonais. >>> >>> >>> Forte abraço. >>> Douglas Oliveira. >>> >>> Em 10 de março de 2018 21:07, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> >>> escreveu: >>>> >>>> Aqui vai um bonitinho que eu nunca tinha visto: >>>> >>>> Dado um quadrilátero convexo, determine o ponto cuja soma das >>>> distâncias aos vértices do quadrilátero é mÃÂnima. >>>> >>>> Interessante que quando a distância entre dois vértices adjacentes >>>> dados tende a zero (e o quadrilátero “tende†a um >>>> triângulo), o ponto >>>> de mÃÂnimo não parece tender ao ponto de Fermat do triângulo >>>> (exceto >>>> quando o triângulo tem um ângulo >= 120 graus. >>>> >>>> Abs, >>>> Claudio. >>>> >>>> Enviado do meu iPhone >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃÂrus e >>>>  acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> >>>> ========================================================================= >>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>> ========================================================================= >>> >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
