Muito fácil pra ser de IMO... 2018-03-26 6:58 GMT-03:00 Anderson Torres <torres.anderson...@gmail.com>:
> Este não é o problema de alguma IMO não? Eu lembro de ter resolvido, > quase igual à solução oficial: substituir s,t,u por a+1,b+1,c+1 e > calcular os possiveis valores de > 1/a+1/b+1/c + 1/ab+1/ac+1/bc usando desigualdades - para daí limitar > os valores de a,b,c. > > Em 23 de março de 2018 17:01, Claudio Buffara > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > > Enfim, nesse meio tempo acho que resolvi o problema... > > > > Devemos achar inteiros s, t, u, com 1 < s < t < u e tais que: > > (stu -1)/((s-1)(t-1)(u-1)) = k (k inteiro positivo) > > > > Após diversas aplicações do truque (método?) de somar e subtrair a mesma > > coisa, chegamos a: > > stu - 1 = (s-1)(t-1)(u-1) + (s-1)(t-1) + (s-1)(u-1) + (t-1)(u-1) + > (s-1) + > > (t-1) + (u-1) > > > > Dividindo isso por (s-1)(t-1)(u-1), obtemos: > > 1 + 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + > > 1/((s-1)(t-1)) = k ==> > > > > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/(s-1) + 1/((t-1)(u-1)) + 1/((s-1)(u-1)) + > > 1/((s-1)(t-1)) = k-1 > > > > Agora a ideia é achar cotas para s e para k. > > > > 1 < s < t < u ==> s >= 2, t >= 3 e u >= 4 ==> o lado esquerdo é menor ou > > igual que: > > 1/3 + 1/2 + 1 + 1/6 + 1/3 + 1/2 = 2+5/6 > > > > Ou seja, como o lado esquerdo é inteiro (e positivo), só poderá ser > igual a > > 1 ou a 2 ==> k = 2 ou k = 3. > > > > Se s >= 4, então t >= 5 e u >= 6, e o lado esquerdo será, no máximo, > igual > > a: > > 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/20 + 1/15 + 1/12 < 1. > > > > Logo, devemos ter s = 2 ou s = 3. > > > > s = 2 ==> > > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(u-1) + 1/(t-1) = k-1 ==> > > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k-2 ==> > > Como k-2 deve ser inteiro positivo, k só pode ser 3 e, portanto: > > 2/(t-1) + 2/(u-1) + 1/((t-1)(u-1)) = 1 ==> > > (2 + 1/(t-1))/(u-1) = 1 - 2/(t-1) ==> > > u = 1 + (2t - 1)/(t - 3) = 3 + 5/(t-3) ==> > > t = 4 e u = 8 ou t = 8 e u = 4 (não serve pois t deve ser menor do > que > > u) > > > > s = 3 ==> > > 1/(u-1) + 1/(t-1) + 1/2 + 1/((t-1)(u-1)) + 1/(2(u-1)) + 1/(2(t-1)) = k-1 > ==> > > (3/2)/(u-1) + (3/2)/(t-1) + 1/((t-1)(u-1)) = k - 3/2 ==> > > 3/(u-1) + 3/(t-1) + 2/((t-1)(u-1)) = 2k - 3 ==> > > (3 + 2/(t-1))/(u-1) = 2k - 3t/(t-1) ==> > > (3t - 1)/(u-1) = 2k(t-1) - 3t ==> > > u = 1 + (3t - 1)/((2k-3)t - 2k) > > > > k = 2 ==> u = 1 + (3t-1)/(t-4) = 4 + 11/(t-4) ==> t = 5 e u = 15 > > > > k = 3 ==> u = 1 + (3t-1)/(3t-6) = 2 + 5/(3t-6) ==> XXX > > > > As únicas soluções são: > > (2,4,8) e (3,5,15) > > > > []s, > > Claudio. > > > > 2018-03-23 15:38 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: > >> > >> Boa tarde! > >> > >> Aproveitando que deu o que falar o problema postado pelo Douglas, tem um > >> que achei mais interessante. > >> > >> (s-1)(t-1).(u-1) | stu -1, com s, t, u inteiros e 1 <s<t<u > >> > >> Saudações, > >> Pedro > >> > >> -- > >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
