Boa noite, Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei corretamente na maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2). Aí vai: Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis:
Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e diferenciável em todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f ' (0) existe e é igual a L. O que pensei em fazer: Pensei em duas maneiras. 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L. Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h) ]/2h = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h] Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e portanto, é L 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0 com lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto que isso é verdade e não sei provar Abraços -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
