Como f é contínua em 0, então, pela regra de L'Hopital, lim x --> 0+ (f(x) - f0))/(x - 0) = lim x --> 0+ f'(x) = L
Pela definição de derivada lateral, o limite do primeiro membro é a derivada à direita de 0. É só o que podemos concluir do enunciado. Nada garante que a derivada à esquerda de 0 sequer exista. Artur Costa Steiner Em Dom, 22 de abr de 2018 22:45, Igor Caetano Diniz <icaetanodi...@gmail.com> escreveu: > Boa noite, > Gostaria de uma ajuda numa questão. Primeiro saber se pensei corretamente > na maneira (1) e se é possível resolver como pensei também na maneira (2). > Aí vai: > Questão 5.3.8 do livro do Stephen Abbot, Understanding Analysis: > > Assuma que f é contínua em um intervalo que contém o zero e diferenciável > em todo ponto diferente de zero. Se lim f ' (x) = L, x->0, prove que f ' > (0) existe e é igual a L. > > O que pensei em fazer: > > Pensei em duas maneiras. > 1)Se o limite existe em 0, então existem os limites laterais, limite a > esquerda e limite a direita: lim x->0- f ' (x) = L e lim x->0+ f ' (x) = L. > Lema: f ' (c) = lim f(c+h)-f(c-h)/2h = lim [ f(c+h)-f(c) +f(c) - f(c-h) > ]/2h = 1/2 lim x->c-[f(c+h)-f(c)/h] + 1/2 lim x->c+ [f(c+h)-f(c)/h] > > Logo como existem esses limites laterais, existe a derivada em 0, e > portanto, é L > > 2) queria tentar fazer, usando uma sequência xn<0 com limxn = 0 e yn>0 com > lim yn = 0 e provar que lim(f(yn)-f(xn)/(yn-xn)) = f'(0) = L. Mas sinto que > isso é verdade e não sei provar > > Abraços > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
