Com certeza dá. A questão é saber se há alguma fórmula ou algoritmo engenhoso pra fazer isso sem "ir somando até passar de 1". Uma ideia é calcular uma cota inferior e uma cota superior pra soma 1/(n-k) + 1/(n-k+1) + ... + 1/n. Por exemplo, sabemos que: 1/(n-k) + ... + 1/(n-1) + 1/n < log(n) - log(n-k-1) < 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-2) + 1/(n-1) (pra ver isso, faça o gráfico) Isso implica que 1/(n-k-1) + ... + 1/(n-1) + 1/n > log(n) - log(n-k-1) + 1/n. Assim, é suficiente (mas não necessário) achar k tal que: log(n) - log(n-k-1) <= 1 <= log(n) - log(n-k-1) + 1/n ==> log(n/(n-k-1)) <= 1 <= log(n/(n-k-1)) + 1/n ==> n/(n-k-1) <= e <= n/(n-k-1) * e^(1/n) ==> n*(1 - e^(1/n-1)) - 1 <= k <= n*(1 - e^(-1)) - 1
Por exemplo, se n = 100, a desigualdade acima fica: 100*(1 - e^(-0,99)) - 1 <= k <= 100*(1 - e^(-1)) - 1 61,84 <= k <= 62,21 ==> k = 62. E, de fato, 1/38 + ... + 1/100 = 0,9858 e 1/37 + ... + 1/100 = 1,0128 Já, se n = 200, as cotas acima serão 125,0553 e 125,4241, de modo que não há nenhum k (inteiro) no intervalo. No entanto, 1/75 + ... + 1/200 < 1 < 1/74 + ... + 1/200, de modo que o k desejado é 125. De qualquer forma, vale a fórmula k = parte inteira de n*(1 - e^(-1)) - 1, pelo menos pra n = 2 (k = 0) e pra n >= 4. Pra n = 3, k = 1 (1/2 + 1/3 < 1 < 1 + 1/2 + 1/3), mas a fórmula dá k = 0. Se eu não errei nenhuma conta, acho que é isso. []s, Claudio. On Wed, Sep 12, 2018 at 9:57 AM Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> wrote: > Bom dia! > É possível determinar, em função de n, o maior valor de k tal que 1/n + > 1/(n - 1) + 1/(n - 2) + ... + 1/(n - k) < 1, em que n é um inteiro maior do > que 1? > > Muito obrigado! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
