Eu resolvi o problema pra CD paralelo a AB. Daí mostrei que, de todos os CD com um dado comprimento, o que produz o PCD de maior área é justamente o CD paralelo a AB.
Isso prova que, pra achar o PCD de área máxima, basta procurar dentre aqueles em que CD é paralelo a AB, que foi o que fiz antes. Enviado do meu iPhone Em 29 de nov de 2018, à(s) 10:56, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > Bom dia! > Cláudio, > só não compreendi porque você afirma que CD tem o comprimento fixo. > > Saudações, > PJMS > > Em qua, 28 de nov de 2018 à s 20:38, Claudio Buffara > <claudio.buff...@gmail.com> escreveu: >> Dentre todos os segmentos CD com um dado comprimento, o que produz o >> triângulo PCD de maior área é justamente aquele que é paralelo ao >> diâmetro AB. >> >> Suponhamos que a altura de PAB em relação a AB seja h e a altura de PCB em >> relação a CD seja k. >> Assim, área(PCD) = (1/2)*CD*k.   >> Como CD tem comprimento fixo, área(PCD) será máxima quando k for máximo. >> Os triângulos PAB e PCD são semelhantes (ângulos inscritos, etc...) ==> >> h/AB = k/CD ==> k = (CD/AB)*h   >> Mas AB também é fixo (= diâmetro), de modo que k é um múltiplo fixo de >> h ==> área(PCD) será máxima quando h for máximo. >> >> Seja Q o pé da altura de PAB em relação a AB ==> PQ = h. >> AQ = h*ctg(PAB) = h*ctg(A) >> QB = h*ctg(PBA) = h*ctg(B) ==> AB = AQ + QB = h*(ctg(A) + ctg(B)) ==> h = >> AB/(ctg(A) + ctg(B)). >> Logo, h será máximo quando ctg(A) + ctg(B) for mÃnimo. >> >> Quando a corda CD (de comprimento constante) se desloca, CAB + DBA = A + B >> permanece constante (digamos, igual a M). >> ctg(A) + ctg(B) = cos(A)/sen(A) + cos(B)/sen(B) = (cos(A)sen(B) + >> cos(B)sen(A))/(sen(A)sen(B)) = sen(A+B)/(sen(A)sen(B)) = sen(M)/(sen(A)sen(B) >> >> Logo, ctg(A) + ctg(B) será mÃnimo quando sen(A)sen(B) for máximo. >> sen(A)sen(B) = (cos(A-B) - cos(A+B))/2 = (1/2)*cos(A-B) + (1/2)*cos(M) >> será máximo quando cos(A-B) = 1, ou seja, quando A = B. >> Finalmente, A = B <==> CD é paralelo a AB. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> >> >> >>> On Wed, Nov 28, 2018 at 3:57 PM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> >>> wrote: >>> Eu só tratei do caso em que CD é paralelo a AB. >>> Chame a medida do ângulo PAB (= PCB) de t (de modo que QCO mede 2t, onde O >>> = ponto médio de AB = centro do cÃrculo). >>> Então, se não errei na álgebra ou na trigonometria, a área de PDC é >>> igual a: >>> Area(t) = r^2*(sen(t) - 2*sen^3(t)), onde t varia entre 0 e pi/4. >>> Derivando Area(t) em relação a t e igualando a zero, achei sen(t) = >>> 1/raiz(6). >>> Substituindo este valor de t, achei que Area(1/raiz(6)) = r^2*raiz(6)/9. >>> >>> O que eu não provei, mas que parece ser verdade, é que, dentre todos os >>> segmentos CD com um dado comprimento, o que produz o triângulo PCD de >>> maior área é justamente aquele que é paralelo ao diâmetro AB. >>> >>> []s, >>> Claudio. >>> >>> >>> >>>> On Tue, Nov 27, 2018 at 5:42 PM matematica10complicada >>>> <profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >>>> Opa Claudio, obrigado pela sua analise, vou te passar a questão e ai de >>>> repente podemos chegar a uma conclusão melhor. >>>> >>>> PROBLEMA: >>>> >>>> Num semicÃrculo de raio "r" e diametro AB, inscreve-se um quadrilátero >>>> ABCD, sendo P o ponto de encontro das diagonais AC e BD, determine a area >>>> máxima do triangulo CPD. >>>> >>>> Valeu pela ajuda. >>>> >>>> O.Douglas >>>> >>>> Em ter, 27 de nov de 2018 14:02, Claudio Buffara >>>> <claudio.buff...@gmail.com escreveu: >>>>> Não existe, pois quando x e y tendem a Pi/2 pela esquerda, >>>>> sen(x)sen(y) tende a sen^2(Pi/2) = 1 >>>>> e >>>>> x+y tende a Pi pela esquerda ==> tan^2(x+y) tende a zero pela direita. >>>>> Logo, o quociente tende a +infinito. >>>>> >>>>>> On Tue, Nov 27, 2018 at 12:27 AM matematica10complicada >>>>>> <profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: >>>>>> Ola meus caros! >>>>>> >>>>>> Preciso de uma ajuda no seguinte problema: >>>>>> >>>>>> Encontrar o valor maximo de >>>>>> >>>>>> [Sen(x).sen(y)]\[tg(x+y)]^2 , onde x e y sao agudos. >>>>>> >>>>>> Obrigado desde já. >>>>>> >>>>>> Douglas Oliveira. >>>>>> >>>>>> -- >>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>>> >>>>> -- >>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>>> acredita-se estar livre de perigo. >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivÃrus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
