0 = f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30) ... Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0.
f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = f(4-10(n+1)) Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela hipótese de indução. 0 = f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14). f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24) f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20) f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34) f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30) ... Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes: -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes e também: -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f pode necessariamente ter. Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de outras raízes. []s, Claudio. On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > Acho esse interessante. > > Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a > > f(2 - x) = f(2 + x) > f(7 - x) = f(7 + x) > > e f(0) = 0 > > Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] > > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
