Se f for um polinômio, então, como f é periódica, f tem que ser constante. No caso, identicamente nula. Artur
Enviado do meu Samsung Mobile da Claro -------- Mensagem original --------De: Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> Data: 22/01/2019 11:13 (GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número mínimo de raízes de f Mas o enunciado fala em FUNÇÃO e não em POLINÔMIO.E, mesmo neste último caso, não é verdade, em geral, que f(2-x) = f(2) + f(-x) = f(2+x) = f(2) + f(x) []s,Claudio. On Tue, Jan 22, 2019 at 11:10 AM Olson <pedroalvesha...@gmail.com> wrote: Se f(x) for um polinômio qualquer e f(0) =0, então o termo independente é igual a 0 também. Por isso, f(2-x) = f(2) + f(-x) = f(2+x) = f(2) + f(x), o que nos dá f(x) = f(-x). Das soluções que o Cláudio mostrou, as -1000, -990, ..., 990, 1000 já obedecem isso. Se usarmos isso nas outras soluções, encontramos que 996, 986, 976, ..., -984, -994 também são soluções, o que nos dá 601 raízes ao todo. Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com escreveu: 0 = f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30)...Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0. f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = f(4-10(n+1)) Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela hipótese de indução. 0 = f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14).f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24)f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20)f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34)f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30)...Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes:-1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízese também:-996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f pode necessariamente ter.Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de outras raízes. []s,Claudio. On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: Acho esse interessante. Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a f(2 - x) = f(2 + x)f(7 - x) = f(7 + x) e f(0) = 0 Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] Artur Costa Steiner -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
