Em seg, 15 de jul de 2019 às 22:54, Matheus Bezerra < matheusbezerr...@gmail.com> escreveu:
> Os números naturais a,b e c têm a propriedade que a³ é divisível por b, b³ > é divisível por c e c³ é divisível por a. Prove que (a+b+c)¹³ é divisível > por abc. > > > Se pegarmos um primo p, fator p^A em a,p^B em b,p^C em c, temos 3a>=b, 3b>=c, 3c>=a. Os termos de (a+b+c)^13 serão da forma a^x b^y c^z vezes uma constante, onde x+y+z=13. Queremos que isso seja sempre divisível por abc. Vamos olhar o fator primo p em cada um deles. O fator primo p aparece elevado a Ax+By+Cz neste fator a^x b^y c^z, ao passo que aparece elevado a A+B+C em abc Queremos sempre que Ax+By+Cz >= A+B+C se x+y+z=13 e 3A>=B, 3B>=C, 3C>=A. Vou tentar uma ideia aqui: uma substituição esperta! Seja *A = r+3s+9t, B = 3r+9s+t, C = 9r+s+3t*. Assim, obtemos 3A-B=26t 3B-C=26s 3C-A=26r E portanto a nossa antiga condição é o mesmo que dizer que r,s,t são positivos! Vamos substituir então: Queremos sempre que A(x-1)+B(y-1)+C(z-1) >= 0 se x+y+z=13 e 3A>=B, 3B>=C, 3C>=A. Ou (r+3s+9t)(x-1)+(3r+9s+t)(y-1)+(9r+s+3t)(z-1) >=0 se r,s,t forem >=0 e x+y+z=13, com x,y,z >=0. Ou r(x+3y+9z-13) + s(3x+9y+z-13) + t(9x+y+3z-13) >=0 Mas aí 13=x+y+z, e portanto isso é o mesmo que r(2y+8z) + s(2x+8y) + t(8x+2z) >= 0 E tudo ok! E, acaso você pergunte, a ideia da substituição esperta foi pensada de trás para frente: se eu tenho 3A>=B, 3B>=C e 3C>=A, o que eu tenho na verdade é um sistema de equações 3A-B=t,3B-C=s e 3C-A=r onde t,s,r não são negativos. Usando a regra de Cramer, obtemos aqueles valores, só que divididos por um 26. Desta maneira, eu multipliquei por 26 para me livrar deles. -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
