Provar que não tem *mais* do que n raízes é elementar.
Lema: Se P(x) é um polinômio de grau N, e 'a' é uma raíz de P(x), então
P(x) = (x-a)*Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau N-1.
Demonstração: Monte um sistema linear (N+1)xN para descobrir quais devem
ser os coeficientes do polinômio Q em função de 'a' e dos coeficientes de
P. Você vai descobrir que:
q_{N-1} = p_N
q_{N-2} = p_{N-1} + a*p_N
...
q_0 = p_1 + a*p_2 + ... + a^{N-1}*p_N
-a*q_0 = p_0
Usando o fato de que P(a)=0, ou seja, p_0 + a*p_1 + ... + a^N*p_N = 0, você
vai descobrir que esse sistema tem exatamente 1 solução. Mais do que isso:
observando bem, você repara que o coeficiente do termo de maior grau de Q é
igual ao coeficiente do termo de maior grau de P.
Imagine agora que o polinômio P(x) de grau N tem N raízes distintas a_1,
..., a_N. Bom, então, para começar:
P(x) = (x - a_1)*Q(x).
Como a_2 também é raíz de P:
0 = P(a_2) = (a_2 - a_1)*Q(a_2)
Como (a_2 - a_1) é diferente de zero (as raízes são distintas), segue que
Q(a_2), ou seja, a_2 é raíz de Q(x), e portanto Q(x) pode ser fatorado em
(x-a_2) vezes um polinômio R(x) de grau N-2, e portanto:
P(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * R(x)
Seguindo com esse raciocínio até o final, escrevemos:
P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * A
onde A, uma constante, é o polinômio de grau zero que sobrou. Como o
coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao de P, e o de R é igual
ao de Q, então o de R é igual ao de P. Continuando, descobrimos que a
constante A é simplesmente o coeficiente do termo de maior grau do
polinômio original P.
Conclusão: se o polinômio P(x) = p_N*x^N + ... + p_1*x + p_0, tem N raízes
distintas: a_1, ..., a_N, então ele pode ser fatorado da seguinte forma:
P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * p_N.
Bom, dado qualquer 'x' que não seja nenhuma das raízes a_1, ..., a_N, os
fatores (x - a_j) serão todos não-nulos, e portanto P(x) será não-nulo, ou
seja, 'x' não será uma raíz de P. Ou seja, se você encontrar N raízes
distintas para um polinômio de grau N, essas raízes são as únicas.
Le ven. 25 oct. 2019 à 20:55, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> a écrit :
>
> Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo
> polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais?
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>
>
> <http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>
> Livre
> de vírus. www.avg.com
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> <#m_8824745352040677824_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
