Vc precisou usar o TFA para provar isso?
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Em sáb, 26 de out de 2019 às 09:52, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
> Muito obrigado!!!
>
> Em sex, 25 de out de 2019 às 21:39, Pedro Angelo <pedro.fon...@gmail.com>
> escreveu:
>
>> Provar que não tem *mais* do que n raízes é elementar.
>>
>> Lema: Se P(x) é um polinômio de grau N, e 'a' é uma raíz de P(x), então
>> P(x) = (x-a)*Q(x), onde Q(x) é um polinômio de grau N-1.
>> Demonstração: Monte um sistema linear (N+1)xN para descobrir quais devem
>> ser os coeficientes do polinômio Q em função de 'a' e dos coeficientes de
>> P. Você vai descobrir que:
>> q_{N-1} = p_N
>> q_{N-2} = p_{N-1} + a*p_N
>> ...
>> q_0 = p_1 + a*p_2 + ... + a^{N-1}*p_N
>> -a*q_0 = p_0
>> Usando o fato de que P(a)=0, ou seja, p_0 + a*p_1 + ... + a^N*p_N = 0,
>> você vai descobrir que esse sistema tem exatamente 1 solução. Mais do que
>> isso: observando bem, você repara que o coeficiente do termo de maior grau
>> de Q é igual ao coeficiente do termo de maior grau de P.
>>
>> Imagine agora que o polinômio P(x) de grau N tem N raízes distintas a_1,
>> ..., a_N. Bom, então, para começar:
>> P(x) = (x - a_1)*Q(x).
>> Como a_2 também é raíz de P:
>> 0 = P(a_2) = (a_2 - a_1)*Q(a_2)
>> Como (a_2 - a_1) é diferente de zero (as raízes são distintas), segue que
>> Q(a_2), ou seja, a_2 é raíz de Q(x), e portanto Q(x) pode ser fatorado em
>> (x-a_2) vezes um polinômio R(x) de grau N-2, e portanto:
>> P(x) = (x - a_1) * (x - a_2) * R(x)
>> Seguindo com esse raciocínio até o final, escrevemos:
>> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * A
>> onde A, uma constante, é o polinômio de grau zero que sobrou. Como o
>> coeficiente do termo de maior grau de Q é igual ao de P, e o de R é igual
>> ao de Q, então o de R é igual ao de P. Continuando, descobrimos que a
>> constante A é simplesmente o coeficiente do termo de maior grau do
>> polinômio original P.
>>
>> Conclusão: se o polinômio P(x) = p_N*x^N + ... + p_1*x + p_0, tem N
>> raízes distintas: a_1, ..., a_N, então ele pode ser fatorado da seguinte
>> forma:
>> P(x) = (x - a_1) * ... * (x - a_N) * p_N.
>> Bom, dado qualquer 'x' que não seja nenhuma das raízes a_1, ..., a_N, os
>> fatores (x - a_j) serão todos não-nulos, e portanto P(x) será não-nulo, ou
>> seja, 'x' não será uma raíz de P. Ou seja, se você encontrar N raízes
>> distintas para um polinômio de grau N, essas raízes são as únicas.
>>
>>
>> Le ven. 25 oct. 2019 à 20:55, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> a écrit :
>>
>>>
>>> Alguém conhece um material ou mesmo a prova do teorema que diz todo
>>> polinômio de grau n não tem mais que n raízes reais?
>>> --
>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
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> Israel Meireles Chrisostomo
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