O problema é resolvível no contexto do ensino médio porque uma das equações vão ser retas. Talvez tenha um jeito ainda mais fácil de resolver, mas essa foi a solução que encontrei:
Por √x ser crescente, o máximo de √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) é a raíz do máximo de 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9. Seja 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9 = p Então (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9 = p (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9/4 = p - 27/4 (4a-2b - 3/2)² = p -27/4 O que dá duas retas: 2a-b = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e 2a-b = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2 E queremos encontrar o maior valor de p tal que pelo menos uma dessas retas toque a equação dada. Para simplificar, recomendo por k = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e k' = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2 Dessa forma, se encontrarmos o maior valor de k tal que 2a-b = k toca a equação dada, podemos encontrar também o maior valor de p tal que a primeira reta toca a equação dada. Analogamente, se encontrarmos o *menor* valor de *k'* tal que 2a - b = k' toca a equação, encontramos o maior valor de p tal que a *segunda* reta toca a equação dada. Aqui fica invertido pois tem um "-" na raíz com o p. A partir daqui já é possível resolver substituindo 2a-b = k restrição e encontrando o vértice de uma equação do segundo grau, mas para continuar, vou aplicar a substituição a=x+y b=x-y temos que 17(a²+b²) -30ab - 16 = 0 fica 34(x²+y²)-30(x²-y²)-16 = 0 4x² + 64y² - 16 = 0 x² + 16y² - 4 = 0 E 2a - b = k fica 2(x + y) - (x - y) = k x + 3y = k x = k - 3y Substituindo, temos (k-3y)² + 16y² - 4 = 0 k² - 6ky + 25y² - 4 = 0 25y² - 6ky + k²-4 = 0 Essa quadrática em y tem discriminante Δ = 36k² - 25(4k² - 16) Δ = 36k² - 100k² + 400 Δ = 400 - 64k² Quando Δ>0, a reta toca a equação em mais de 1 ponto. Quando Δ=0, a reta é tangente à equação (isso ocorrerá quando k for máximo ou mínimo), e quando Δ<0, a reta não toca a equação. Pondo Δ=0, temos 25 - 4k² = 0 k = 5/2 e k = -5/2 Assim, encontramos o maior valor para k: k = √(25/4) e o menor valor para k': k' = -√(25/4). Isso nos dá as equações 5 = √(p -27/4) + 3/2 e -5 = -√(p -27/4) + 3/2 Que não são difíceis de resolver e dão, respectivamente p = 19 e p = 49 Como disse no começo, o resultado é a raíz desse máximo, ou seja, √49 = *7*. Como o resultado foi muito bonito, suspeito que há um jeito muito mais simples de resolver, mas não o encontrei. A saber, esse máximo ocorre quando a = -1,9 b = -1,3 Espero que tenha sido útil Pedro Cardoso Em dom., 12 de jan. de 2020 às 18:09, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Oi, Gilberto: > > Que mal eu pergunte, de onde veio este problema? > E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem usar > cálculo)? > > []s, > Claudio. > > > On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo <gil159...@gmail.com> > wrote: > >> Se a e b são números que satisfazem a equação : >> 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0 >> Determinar o máximo de : >> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) >> Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior kkkk. Não sei oq >> utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando ideias. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
