Excelente, foi de grande ajuda. Muito obrigado ! Em dom, 12 de jan de 2020 20:42, Pedro Cardoso <mr.pedrocard...@gmail.com> escreveu:
> O problema é resolvível no contexto do ensino médio porque uma das > equações vão ser retas. > Talvez tenha um jeito ainda mais fácil de resolver, mas essa foi a solução > que encontrei: > > Por √x ser crescente, o máximo de > √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) > é a raíz do máximo de > 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9. > Seja > 16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9 = p > Então > (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9 = p > (4a-2b)² - 3(4a-2b) + 9/4 = p - 27/4 > (4a-2b - 3/2)² = p -27/4 > O que dá duas retas: > 2a-b = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e > 2a-b = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2 > E queremos encontrar o maior valor de p tal que pelo menos uma dessas > retas toque a equação dada. > > Para simplificar, recomendo por > k = (√(p -27/4) + 3/2 )/2 e > k' = (-√(p -27/4) + 3/2 )/2 > > Dessa forma, se encontrarmos o maior valor de k tal que 2a-b = k toca a > equação dada, podemos encontrar também o maior valor de p tal que a > primeira reta toca a equação dada. > Analogamente, se encontrarmos o *menor* valor de *k'* tal que 2a - b = k' > toca a equação, encontramos o maior valor de p tal que a *segunda* reta > toca a equação dada. Aqui fica invertido pois tem um "-" na raíz com o p. > > A partir daqui já é possível resolver substituindo 2a-b = k restrição e > encontrando o vértice de uma equação do segundo grau, mas para continuar, > vou aplicar a substituição > > a=x+y > b=x-y > > temos que > 17(a²+b²) -30ab - 16 = 0 fica > 34(x²+y²)-30(x²-y²)-16 = 0 > 4x² + 64y² - 16 = 0 > x² + 16y² - 4 = 0 > > E 2a - b = k fica > 2(x + y) - (x - y) = k > x + 3y = k > x = k - 3y > > Substituindo, temos > (k-3y)² + 16y² - 4 = 0 > k² - 6ky + 25y² - 4 = 0 > 25y² - 6ky + k²-4 = 0 > Essa quadrática em y tem discriminante > Δ = 36k² - 25(4k² - 16) > Δ = 36k² - 100k² + 400 > Δ = 400 - 64k² > > Quando Δ>0, a reta toca a equação em mais de 1 ponto. Quando Δ=0, a reta > é tangente à equação (isso ocorrerá quando k for máximo ou mínimo), e > quando Δ<0, a reta não toca a equação. > > Pondo Δ=0, temos > 25 - 4k² = 0 > k = 5/2 e > k = -5/2 > > Assim, encontramos o maior valor para k: k = √(25/4) > e o menor valor para k': k' = -√(25/4). Isso nos dá as equações > > 5 = √(p -27/4) + 3/2 e > -5 = -√(p -27/4) + 3/2 > Que não são difíceis de resolver e dão, respectivamente > p = 19 e > p = 49 > > Como disse no começo, o resultado é a raíz desse máximo, ou seja, √49 = > *7*. > Como o resultado foi muito bonito, suspeito que há um jeito muito mais > simples de resolver, mas não o encontrei. > A saber, esse máximo ocorre quando > a = -1,9 > b = -1,3 > > Espero que tenha sido útil > Pedro Cardoso > > Em dom., 12 de jan. de 2020 às 18:09, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > >> Oi, Gilberto: >> >> Que mal eu pergunte, de onde veio este problema? >> E por que um aluno de EM teria que resolver um problema desses (e sem >> usar cálculo)? >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> On Sun, Jan 12, 2020 at 6:33 PM gilberto azevedo <gil159...@gmail.com> >> wrote: >> >>> Se a e b são números que satisfazem a equação : >>> 17(a²+b²) - 30ab - 16 = 0 >>> Determinar o máximo de : >>> √(16a² + 4b² - 16ab - 12a + 6b + 9) >>> Sem utilizar lagrange e nada que envolva ensino superior kkkk. Não sei >>> oq utilizar, se a sacada é enxergar uma fatoração... Enfim aceitando >>> ideias. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
