Olá, On Thu, Jan 30, 2020 at 11:21 AM Luiz Antonio Rodrigues <rodrigue...@gmail.com> wrote: > Estou tentando resolver um problema há alguns dias e não estou conseguindo > chegar numa resposta correta. > O problema é o seguinte: > > Qual a integral que representa o volume do disco > > ((x-b)^2)+y^2<a^2 > > que gira em torno do eixo y? > Considere 0<a<b
Eu imagino que você esteja fazendo Cálculo. Provavelmente, cálculo 1. E não vou responder, mas espero te ajudar a entender isso. Pense num retângulo bem pequeno, no ponto (x,y), de lados (dx,dy). Agora, RODE este quadradinho em torno do eixo y. 1) Visualize o sólido gerado por esta rotação. E depois desenhe. Desenhe mais de um, inclusive, para ver como eles ficam quando mudar o x, o y, ou os dois. Também faça um mudando dx ou dy. Se familiarize com o problema! 2) Dê uma APROXIMAÇÃO para o volume deste sólido, em função de (x, y, dx, dy). Repare que deve ser algo "pequeno". Se um dos lados tender a zero, o volume deve zerar também, então deve ser alguma coisa que COMEÇA com dx * dy. Deve ter termos "de mais alto grau" (tipo dx*dx*dy, ou dx*dy*dy*dy), mas estes a gente vai poder jogar fora depois. Se preocupe com o termo que vai aparecer multiplicando o dx*dy - esta será sua aproximação. 3) Agora, faça um monte de retângulos (ou quadrados, se é você quem escolhe!!) dentro do círculo. Se você rodar cada um, vai dar um volume. Se você somar todos os volumes, dá o volume do círculo rodado. - Mas peraí: não dá para preencher o círculo com quadrados do mesmo tamanho. É verdade. Vai sobrar (ou faltar) um treco no bordo. Mas isso deve (também!) tender a zero quando você diminuir o lado do quadrado. 4) Isso que você escreveu é uma "soma de Riemann" (que alguns gregos - tipo Arquimedes - já sabiam fazer) para o volume do seu sólido de rotação. É uma soma dupla (tem quadradinhos nas duas direções), vai virar uma integral dupla. 5) Faça de novo um desenho: agora, de como você vai calcular a soma dupla, somando na horizontal ou na vertical primeiro. Repare que o número de quadradinhos muda em cada "fatia", aumentando e depois diminuindo. Este MESMO desenho te diz como vão ser os limites de integração da integral dupla. - Poxa, eu ainda estou em Cálculo 1, e você vem falar de integrais duplas. É. Acho que é mais natural montar o problema assim. Porque eu acho que a grande ideia do cálculo é justamente dividir em trecos minúsculos, aproximar, somar. A integral que vai aparecer, apareceu. Note que, só neste problema, você já vai ver uma das coisas mais legais de integrais duplas: que os limites de integração "de dentro" dependem da variável de integração "de fora" - já que tem mais quadradinhos no centro do disco do que nos bordos. 6) A integral, fazendo dx e dy serem "infinitesimais", também faz com que as aproximações sejam cada vez melhores, e que o erro no bordo também seja cada vez menor. Se você quiser pensar mais nisso, ótimo: você quer fazer (um tipo de) análise. 7) Agora, basta calcular a integral. Essa é a parte FÁCIL: o importante é entender como sair do problema "real" (ou matemático) e chegar na integral. > Primeiro eu preciso resolver usando dx e depois dy. > Por fim, o problema pede o valor do volume em termos de a e b. Fazer "primeiro com dx" de "depois com dy" é só "resolver a integral dupla" primeiro em y, ou primeiro em x. Também pode ser pensado "fatiando" o seu círculo não em retângulos pequenos nas duas direções, mas em apenas uma. Mas eu acho isso mais complicado do que precisa (e dá uns nomes estilosos tipo "cascas cilíndricas" e tal, mas não acho que seja muito iluminador se você não entendeu estes quadradinhos...) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
