Também me ocorreu isso, mas depois pensei em me basear no T. de Rouché (o
da Análise Complexa, não o da Álgebra Linear). Em sua forma geral, este
teorema diz:
Se V um aberto do plano e W uma curva suave e fechada em V tal que Ind(W,
z) = 0 ou 1 para z em V/W* (o traço de W) e = 0 para z em C/V. Se f e g são
funções holomorfas em V tais que
|f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)|
para z em V/W*, então f e g têm o mesmo número de zeros no conjunto I = {z
em V/W* : Ind(W,z) = 1-}
Este teorema é particularmente interessante quando W é uma curva bonita em
que se identifica claramente a área delimitada por W. Neste ,caso I é essa
área. Caso típico do círculo de centro a e raio r, quando então I é o
disco aberto D(a, r).
No caso, vemos que, para que o limite dado faça sentido, para |z|
suficientemente grande g não pode se anular. Logo, o conjunto Zg dos zeros
de g é limitado. Se Zg for infinito, terá um ponto de acumulação em C, o
domínio da inteira g. Pelas propriedades das funções holomorfas, g será
entãoidenticamente nula, conflitando assim com o limite dado. Logo, Zg é
finito, tendo n>= 0 elementos (contando multiplicidades).
Como lim |z| --> oo f(z)/g(z) = 1, então lim |z| --> oo f(z)/g(z) - 1 = lim
|z| --> oo [f(z) - g(z)]/g(z) = 0. Segue-se que lim |z| --> oo |f(z) -
g(z|]/|g(z)) = 0, havendo portanto r0 > 0 tal que |z| > r0 => |f(z) -
g(z)|/|g(z)| < 1 e, portanto,
|f(z) - g(z)| < ||g(z)| (1)
Assim, para r > r0, (1) vale no círculo de centro na origem e raio r,
periferia de D(0 r). Pelo T de Rouché com V = C, f e g têm neste disco o
mesmo número de zeros , ou seja, n zeros.
Como isso vale pra todo r > r0, concluímos que f e f têm n zeros em C.
Se f for um polinômio de grau n > 0 e g(z) = c_n z^n, c_n o coeficiente
líder de f, temos uma prova do T. Fundamental da Álgebra que mostra que
polinômios de grau n > 0 têm n zeros (ou raízes).
Neste problema, cheguei a duas conclusões me parecem corretas:
f e g não terão zeros em C esse f = g, g uma função que não se anule
Se lim |z| --> oo g(z) = oo, então f e g são polinômios de mesmo grau
positivo.
Abs
Artur
Em qui, 30 de jul de 2020 13:43, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com>
escreveu:
> Será que fazendo w = 1/z e w -> 0 ajuda?
>
> On Thu, Jul 30, 2020 at 7:24 AM Artur Costa Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote:
>
>> Sejam f e g funções inteiras tais que lim |z| ---> oo f(z)/g(z) = 1.
>> Mostre que f e g tem um número finito de zeros em C e que o número de zeros
>> de f é igual ao número de zeros de g.
>>
>> Abs
>>
>> Artur
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
