Sauda,c~oes,
Como enunciar os teoremas nas duas formas (direta e contrapositiva) corretamente
?
E fazer uma prova completa/clara ? Vou tentar aqui. Agradeço
comentários/correções.
"Um polinômio f(x) em Z[x] é irredutível em Z[x] se e somente se f(x+N) é irredutível
para algum <N> inteiro."
Sabendo interpretar, acho que está correto. Podemos não saber se f(x) é
<re> ou irredutível, mas basta
encontrar somente um N tal que f(x+N) é irredutível para ter a
decisão da irredutibilidade.
Talvez por essa característica - encontrar um N que não sabemos qual - a
prova direta seja difícil/impossível(?)
e devemos pensar numa outra estratégia. Daí a contrapositiva, que
precisa ser bem enunciada.
"Um polinômio f(x) em Z[x] é redutível em Z[x] se e somente se f(x+N)
é redutível
para todo <N> inteiro."
Ah, agora ficou mais fácil.
Ida: f(x) é redutível ==> f(x+N) é redutível para
todo <N> inteiro.
f(x) é redutível ==> f(x)=g(x)*h(x) para todo x\in\Real com
os graus(g(x),h(x)) >= 1.
Em particular, se x=x+N, podemos escrever: f(x+N)=g(x+N)*h(x+N) para todo N.
Uma vez que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então g(x+N) e h(x+N) também têm.
Logo, f(x+N) é redutível para todo <N> inteiro.
>A recíproca é essencialmente idêntica.
Vou tentar prová-la rigorosamente. Talvez esteja errada, enrolada,
imprecisa.
Apreciaria correções/comentários.
Volta: f(x+N) é redutível para todo
<N> inteiro ==> f(x) é redutível
f(x+N) é redutível para todo
<N> inteiro ==> f(x+N)=g(x+N)*h(x+N) para todo x\in\Real.
Em particular, se x=x-N, podemos escrever: f(x)=g(x)*h(x) para todo
x\in\Real.
Uma vez que g(x) e h(x) têm coeficientes inteiros, então f(x)
também tem.
Logo, f(x) é redutível.
Abraços,
Luís
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