Sendo i a unidade imaginária:
1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)-1/(r_k+i) (k=[1,n], onde r_k <> {-i,i}).
i) Seja z_k = 1/(r_k-i) e fazendo z=1/(r-i) em r^20-7r^3+1=0:
(1/z+i)^20-7(1/z+i)^3+1=0 => (1+iz)^20-7z^17(1+iz)^3+z^20=0 => (7i+2)z^20 +
(-20i+21)z^19 +...=0.
Portanto Soma_(k=[1,n]) 1/(r_k-i) = Soma_(k=[1,n]) z_k = -
(-20i+21)/(7i+2) (I).
ii) Seja y_k = 1/(r_k+i) e fazendo y=1/(r-i) em r^20-7r^3+1=0:
(1/y-i)^20-7(1/y-i)^3+1=0 => (1-iy)^20-7y^17(1-iy)^3+y^20=0 => (-7i+2)y^20
+ (20i+21)y^19 +...=0.
Portanto Soma_(k=[1,n]) 1/(r_k+i) = Soma_(k=[1,n]) y_k = -
(20i+21)/(-7i+2) (II).
Usando (I) e (II):
Soma_(k=[1,n]) 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(-(-20i+21)/(7i+2)
-(-(20i+21)/(-7i+2))) = 1/(2i)*1/(-49)*(-80i-294i) = 187/49.
Em dom., 25 de out. de 2020 às 10:25, Marcos Martinelli <
mffmartine...@gmail.com> escreveu:
> Sendo i o complexo imaginário:
>
> 1/(1+r_k^2) = 1/(2i)*(1/(r_k-i)+1/(r_k+i)
>
> Depois você deve considerar dois novos polinômios com as seguintes
> mudanças de variáveis:
>
> . x=1/y-i
> . x=1/y+i
>
> Devemos então calcular as somas dos inversos das raizes nesses dois
> polinômios para termos como calcular o somatório que queremos.
>
> Em dom, 25 de out de 2020 às 09:36, Professor Vanderlei Nemitz <
> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Alguém tem uma saída interessante para esse problema?
>>
>> Sejam r1, r2, ..., r20 as raízes do polinômio p(x) = x^20 - 7x^3 + 1. Se
>> o somatório de 1/[(rk)^2 + 1], com k variando de 1 a 20, é da forma m/n,
>> com m e n inteiros positivos e primos entre si, calcule m + n.
>>
>> Espero ter escrito de forma clara o enunciado :)
>>
>> Muito obrigado!
>>
>
