Vou enviar uma solução resumida:
Se 3^x-5^y=2, vamos testar os menores valores de y: se y=0 então 3^x=3 e
x=1. Se y=1 então 3^x=7, o que não dá solução inteira.
Se y=2 então 3^x=27 e x=3. Vamos então supor y=2+b>2, o que dá 3^x>27, logo
x=3+a>3, e podemos escrever a equação como
3^3(3^a-1)=5^2(5^b-1). Como a ordem de 3 módulo 5^2 é 20, segue que 20|a,
logo 3^a-1 é múltiplo de 3^20-1, e portanto é múltiplo de 61.
Como a ordem de 5 módulo 61 é 30, segue que 30|b, logo 5^b-1 é múltiplo de
5^30-1, e portanto é múltiplo de 31. Como a ordem de 3
módulo 31 é 30, segue que 30|a, logo 3^a-1 é múltiplo de 3^30-1, e portanto
é múltiplo de 271. Como a ordem de 5 módulo 271 é 27,
segue que 27|b, e como 30|b segue que 54|b, logo 5^b-1 é múltiplo de
5^54-1, e portanto é múltiplo de 81, absurdo, pois, como 3^a-1 não
é múltiplo de 3, 3^3(3^a-1) não é múltiplo de 81.
Abraços,
Gugu
é múltiplo de 81
On Fri, Jan 28, 2022 at 5:28 PM Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <
g...@impa.br> wrote:
> Mas acho que lá uma solução está incompleta e as outras duas erradas...
>
> On Fri, Jan 28, 2022 at 5:11 PM Gabriel Torkomian <tor...@gmail.com>
> wrote:
>
>> https://artofproblemsolving.com/community/q1h2640462p22841017
>> Tem no aops
>>
>> Em sex., 28 de jan. de 2022 10:32, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> 3^x-5^y=2
>>>
>>> Em sex., 28 de jan. de 2022 09:53, Esaú Gomes <tarsise...@gmail.com>
>>> escreveu:
>>>
>>>> E qual a equação?
>>>>
>>>> On Wed, Jan 26, 2022 at 3:33 PM Israel Meireles Chrisostomo <
>>>> israelmchrisost...@gmail.com> wrote:
>>>>
>>>>> Olá pessoal, recentimente estava estudando e me deparei com uma
>>>>> equação diofantina.eu tentei resolve-la mas ñ sei se está correta a
>>>>> solução ou incompleta, vcs poderiam por favor me ajudar a fechar o
>>>>> argumento?ñ quero outra solução só quero fazer da minha solução uma
>>>>> solução
>>>>> top.Tenho a impressão que falta alguma coisa.
>>>>>
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>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
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