Grato a todos! Já, já tenho de voltar ao trabalho. Depois dou uma olhada. Mas achei a demonstração usando casa de pombos, simples e prática. Já que tem de haver um p/q com p<q, já que se w/q com w>p temos w=x+p/q, onde x é a parte inteira de w/q, então p<q Como os restos são (0,1,2...q-1), quando fizer a divisão euclidiana de (10^n*p):q, onde n= min 10*z*p>q e os restos só podem q-1, uma hora tem de repetir e aí volta a sequência. Mas saindo do trabalho dou uma olhada. Mais uma vez, minha gratidão.
Cordialmente, PJMS Em sex., 8 de abr. de 2022 às 13:02, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > A volta é fácil também: ao calcular a representação decimal de a/b (a e b > naturais), nas divisões sucessivas por b só existem b-1 restos possíveis > (resto = 0 em alguma etapa implica numa decimal finita) e, portanto, após > não mais do que b-1 divisões, um resto vai se repetir, marcando o início de > um novo período na representação decimal. > > Agora, suponha que X = > 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... seja racional. > Então existirão n e p naturais tais que, a partir da n-ésima casa decimal > (1/10^n), os algarismos de X vão se repetir numa sequência com período p. > > Mas, pela lei de formação de X, vai existir uma sequência de n+p+1 > algarismos iguais a 1, e esta sequência vai começar após a n-ésima casa > decimal. > Ou seja, a sequência vai estar incluída na parte periódica da > representação decimal de X. > Mas como o período é p, isso implica que a parte periódica teria que > ser 111..11 (p algarismos 1) ==> contradição à lei de formação de X. > > []s, > Claudio. > > > On Fri, Apr 8, 2022 at 11:17 AM Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote: > >> Bom dia! >> Posso concluir que um número representado por uma infinidade de >> algarismos decimais é racional se e somente se tem um período de repetições >> desses algarismos? >> A ida é fácil se tiver o período é racional. >> Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar? >> >> Meu objetivo primário é saber se: >> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. >> As reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada >> sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e >> assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos. >> >> Alguém poderia me ajudar? >> Grato, >> PJMS >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
