Em sex., 8 de abr. de 2022 às 11:17, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > > Bom dia! > Posso concluir que um número representado por uma infinidade de algarismos > decimais é racional se e somente se tem um período de repetições desses > algarismos? > A ida é fácil se tiver o período é racional. > Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?
Acho que dá para fazer isso mais algoritmicamente. Um número da forma 0,(A) onde A é um período de k dígitos (por óbvio, zeros à esquerda são permitidos, como em 0,010101010101...) é essencialmente um racional da forma A/9999..9 com k noves - ou melhor escrevendo, (A/(10^k-1)). Já números da forma 0,B(A) onde B tem m dígitos são a mesma coisa que 10^(-m)*(B+A/(10^k-1)), o que, após simplificar, dá (maçaroca qualquer)/(10^m*(10^k-1)). Qualquer racional por definição é da forma p/q com q natural. Bastaria demonstrar que todo natural q tem um múltiplo da forma (10^m*(10^k-1)), o que sai de uma aplicação de Euler-Fermat ou mesmo de casa do pombo. (Aliás, quem foi o BR que traduziu "princípio do escaninho" para "princípio de casa de pombo"?) > > Meu objetivo primário é saber se: > 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. As > reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada > sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e assim > sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos. > > Alguém poderia me ajudar? > Grato, > PJMS > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
